Bonjour,j'ai un exercice a faire et je n'est pas réussit à le résoudre
Soient A, B, C et D quatre points deux a deux distincts tels que (AB) et (CD) soient sécantes en un point M (distinct de ces quatre points)
1) On suppose A, B, C, D cocycliques. Montrer que MA. MB = MC. MD
2) On suppose que MA. MB = MC. MD
3) Montrer que pour tout point E du plan, MC. ED = MA.MB - MC.ME
4) En suppose que E est un point d'intersection du cercle circonscrit à (ABC) et de (MC) a l'aide de ce qui précède, montrer que E=D
5) En déduire que A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si MA.MB = MC.MD
Merci d'avance pour toute d'aide
Ps tout MA, MB, MC, MD, ME, ED sont des vecteur
critére de cocyclicité
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mohamed
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: critére de cocyclicité
Bonsoir,
Je pense que tu dois utiliser la puissance d'un point M par rapport à un cercle.
Si on a un cercle de centre O, de rayon R et si M est un point du plan la puissance de M par rapport au cercle est égale à :
1°)OM2−R2 ou à
2°) →MA→MB où A et B sont les deux points d'intersection d'une droite passant par M et coupant le cercle ; ou à
3°)MT2 où T est le point de contact de la tangente au cercle passant par M.
Par exemple : Si M est sur le cercle sa puissance est 0, la puissance d'un point est un nombre fixe.
Dans la première question →MA→MB et →MC→MD sont deux expressions de cette puissance du même point M, tu peux donc conclure.
Pour la question 3 : Décompose →ED à l'aide de la relation de Chasles et du point M, et utilise l'hypothèse pour conclure.
Pour la question 4 : Utilise l'égalité de la question 3 et pense que tu as de nouveau deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle pour démontre que →MC→ED est nul, comme →MC n'est pas nul conclus.
La question 5 en découle.
Bon courage
Je pense que tu dois utiliser la puissance d'un point M par rapport à un cercle.
Si on a un cercle de centre O, de rayon R et si M est un point du plan la puissance de M par rapport au cercle est égale à :
1°)OM2−R2 ou à
2°) →MA→MB où A et B sont les deux points d'intersection d'une droite passant par M et coupant le cercle ; ou à
3°)MT2 où T est le point de contact de la tangente au cercle passant par M.
Par exemple : Si M est sur le cercle sa puissance est 0, la puissance d'un point est un nombre fixe.
Dans la première question →MA→MB et →MC→MD sont deux expressions de cette puissance du même point M, tu peux donc conclure.
Pour la question 3 : Décompose →ED à l'aide de la relation de Chasles et du point M, et utilise l'hypothèse pour conclure.
Pour la question 4 : Utilise l'égalité de la question 3 et pense que tu as de nouveau deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle pour démontre que →MC→ED est nul, comme →MC n'est pas nul conclus.
La question 5 en découle.
Bon courage
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mohamed
Re: critére de cocyclicité
pour la question 4 je ne voit pas comment faire alors que pour les question 1.2.3 je vous remercie de votre aide mais si vous pouviez m'aide un peu plus pour la question 4 cela vous serait très sympathique
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: critére de cocyclicité
Bonsoir,
Tu as l'égalité : →MC→ED=→MA→MB−→MC→ME
or →MA→MB et→MC→ME sont deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle circonscrit à ABC puisque E est l'autre point d'intersection de (MC) avec ce cercle.
Déduis-en la valeur du produit scalaire →MC→ED comme →MC n'est pas nul, déduis-en →ED puis termine.
Bonne continuation
Tu as l'égalité : →MC→ED=→MA→MB−→MC→ME
or →MA→MB et→MC→ME sont deux expressions de la puissance de M par rapport au cercle circonscrit à ABC puisque E est l'autre point d'intersection de (MC) avec ce cercle.
Déduis-en la valeur du produit scalaire →MC→ED comme →MC n'est pas nul, déduis-en →ED puis termine.
Bonne continuation