Bonjour à tous,
J'ai un problème avec un exercice dans mon D.M , je ne comprend pas comment démontrer cela, pouvez-vous m'aider s'il vous plait :
"Démontrer par recurrence le résultat : Pour tout entier naturel n>0 , 1²+2²+3²+...+(n-1)²+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6 "
J'ai commencé la méthode par recurrence mais je bloque :
Initialisation
Si n=1 1²+2²+3²+...+(1-1)²+1² = 1
[ 1(1+1)(2x1+1)]/6 = (2x3]/6 = 1
La propriété est vraie
Hérédité soit k un entier naturel
Supposons que 1²+2²+3²+...+(k-1)²+k²= [k(k+1)(2k+1)]/6
et démontrons que 1²+2²+3²+...+ ((k+1)-1)²+(k+1)²= [(k+1((k+1)+1)(2(k+1)+1)]/6
C'est ici que je suis bloqué
Merci d'avance
Suites - Démontrer par récurrence
-
Agathe63
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Suites - Démontrer par récurrence
Bonsoir,
Si tu supposes ta propriété vraie au rang n,
alors au rang n+1, on a
\(1^2+2^2+\ldots+(n+1)^2=\underbrace{1^2+\ldots+n^2}_{=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \,:\, hyp\, de \, recurrence}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\)
On reprend ensuite ce calcul :
\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2}{6}=\frac{(n+1)[n(2n+1)+(n+1)]}{6}\) en factorisant
Ensuite tu développes le terme entre crochets, tu recherches ses racines (comme un polynôme du second degré mais avec n comme variable, ce qui n'est pas gênant) avec le discriminant et tu le factorises, tu dois obtenir la fraction au rang n+1
Si tu supposes ta propriété vraie au rang n,
alors au rang n+1, on a
\(1^2+2^2+\ldots+(n+1)^2=\underbrace{1^2+\ldots+n^2}_{=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \,:\, hyp\, de \, recurrence}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\)
On reprend ensuite ce calcul :
\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2}{6}=\frac{(n+1)[n(2n+1)+(n+1)]}{6}\) en factorisant
Ensuite tu développes le terme entre crochets, tu recherches ses racines (comme un polynôme du second degré mais avec n comme variable, ce qui n'est pas gênant) avec le discriminant et tu le factorises, tu dois obtenir la fraction au rang n+1