Suite et intégration

[Ana]

Bonjour,

J'ai un exercices à faire pour la rentrée, et je bute dessus depuis quelque temps. J'aimerai savoir si vous pouviez m'aider à avancer, un peu. Voici l'exercice :

On considère la suite(un) définie par : pour tout n de N*, un= \(\int_{1}^{e}x(lnx)^ndx\)

1. Montrer que u1= 1/4(e²+1).
Pour cette question, j'ai calculé F(e)-F(1) puisque qu'à la puissance n=1 cela ne change rien, j'ai donc cherché la primitive. J'ai trouvé I= [(x²lnx)/x] de e à 1 - 1/2[x²/2] de e à 1 soit I = e²/4+ 1/4.
2. Démontrer que la suite (un) est décroissante.
Pour démontrer que la suite un est décroissante je voulais faire un+1 - un mais je me retrouve avec une soustraction d'intégrale et je ne sais qu'en faire...
3.a) Démontrer que pour tout entiel naturel n \(\geq\) 2 : 2un+nu(n-1)=e²
(on pourra commencer par exprimer un en fonction de u(n-1) en utilisant une intégration par parties... Je ne sais pas comment faire l'intégration par partie ici, malgré que je connaisse la formule
b) calculer u2 et u3
4.a) Démontrer que pour tout entiel naturel n\(\geq\) 2 : e²/(n+3) \(\leq\) un \(\leq\) e²/n+2
b)Determiner lim un en + l'infini et lim [nun] en + l'infini




Merci de votre aide d'avance .

[sos-math(21)]

Bonjour,
Oui pour le calcul de l'intégrale par intégration par parties.
Pour le sens de variation de la suite, il faut effectivement faire la différence \(u_{n+1}-u_n=\int_1^{e}x(\ln\,x)^{n+1}dx-\int_1^{e}x(\ln\,x)^{n}dx\)
Ensuite on regroupe tout sous la même intégrale (linéarité de l'intégrale) et on factorise :
\(u_{n+1}-u_n=\int_1^{e}x(\ln\,x)^{n+1}dx-\int_1^{e}x(\ln\,x)^{n}dx=\int_1^{e}[x(\ln\,x)^{n+1}-x(\ln\,x)^{n}]dx=\int_1^{e}x(\ln\,x)^{n}(\ln\,x-1)dx\)
Il te suffit de vérifier que ta fonction sous l'intégrale \(x(\ln\,x)^{n}(\ln\,x-1)\geq\,0\) sur l'intervalle [1;e], ce qui te permettra par croissance de l'intégrale de montrer que l'intégrale est positive ce qui montrera \(u_{n+1}-u_n\geq\,0\) donc que la suite est croissante.
Pour l'intégration par parties, puisque tu as du \(u_{n-1}\), il faudra dériver \((\ln\,x)^{n}\) donc poser \(u(x)=(\ln\,x)^{n}\) et \(v^{,}(x)=x\).
Je te laisse voir tout cela...

[Ana]

Merci beaucoup pour votre aide!
Seulement je ne comprend pas, vous démontrer que la suite est croissante, tandis qu'il est demandé de démontrer qu'elle est croissante...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ana,

C'est une petite erreur de frappe ... il faut vérifier que \(x(lnx)^n(lnx-1)\leq{}0\) (et non \(\geq{}0\)).

SoSMath.

[Ana]

Oui, je m'en suis doutée, du coup j'ai essayé mais je comprends pas bien comment faut il faire... pouvez vous me donner quelques indications s'il vous plait?
Je suis en train d'essayer de faire l'intégration par partie, question 3.a) mais enfait je ne comprends pas pourquoi l'on doit faire cela

[SoS-Math(9)]

Ana,

tu as un produit de facteurs, donc il faut faire un tableau signe sachant que x apparient à l'intervalle [1 ; e].

SoSMath.

[ana]

Okay, merci beaucoup!
Je ne comprends toujours pas comment faire pour la 3.a). Pourquoi faire une intégration par partie et de un ou un-1 ?

[SoS-Math(9)]

Ana,

Il faut faire une intégration par parties de \(u_n\) pour obtenir une expression de \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\).

SoSMath.

[Ana]

Je suis désolée je ne vois vraiment pas, comment relier un-1 ....

[SoS-Math(9)]

Ana,

L'objectif n'est pas de voir ... mais il faut de laisser guider par ce qui t'est demandé !
Donc il faut faire une intégration par parties de \(u_n\) et là tu pourras voir ...

SoSMath.

[Ana]

Mais, justement, mon intégration par partie est déjà faite et je ne sais pas comment faire à partir de là...

[SoS-Math(9)]

Ana,

Peux-tu me donner ton résultat ?

SoSMath.

[Jane]

Bonjour,
j'ai examen de math sur les integrales. mon prof va donc me donner plusieurs calculs que je vais devoir faire soit immediate, par substitution ou par partie. le problème est que je ne sais pas du tout quand il faut utiliser l'immediate, la substitution ou par partie.

seriez vous m'aider, merci!!!!!!!!!

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

La meilleur façon de réviser ton controle c'est de refaire les exercices faits en classe avec le professeur.
Quelques pistes :

calcul immédiat : c'est lorsque tu trouves facilement une primitive de la fonction ex : int( x^2+2x-1)

calcul par substitution : quand tu reconnais une formule de dérivée : ex int(cos(x)/sin²(x)) si tu pose U=sin(x) tu reconnais l'expression U'/U² qui est la dérivée de -1/U.

Donc la primitive qui te sert à calculer l'intégrale est -1/sin(x)

intégration par partie: souvent utilisé lorsque la fonction sous le signe intégral est le produit d'un polynome par une fonction exponentielle ou par une fontion logarithme ou par une fonction sinus ou cosinus.
ex: int( xe^(-x))
int(xsin(x))
int(x²cos(x)) la il faudra 2 intégration par parties.

Dans tout ce qui précède, je n'ai pas marqué les bornes d'intégration pour ne pas alourdir l'écriture.

bon courage

sosmaths