UTILISER UNE HOMOTHETIE BIEN CHOISIE

[Tony]

Bonjour j'ai un problème sur un DM car nôtre prof nous la donner mais nous n'avons pas fait de cours dessus c'est sur les homothétie
Je vous post l'ennocé ainsi que la premiere partie de l'exercice
1) je sais que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la meme direction dans ce cas IH et
ON ont le meme sens ils sont donc colinéaires

2) On a une homothétie h de centre M qui transforme O en I . Ainsi les points O,M,et I sont alignés car M est le centre d'une homothétie transformant O en I.
3) je n'y arrive pas jusqu'a la fin de cette premiere partie
Pouvez vous m'aidez rapidement Silvouplait
Merci Beaucoup d'avance

Amicalement ,
Tony

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Je vous réponds, mais avec difficulté, car je peine à lire les images en pièce jointe...

Pour la première question votre réponse me semble confuse :
<<1) je sais que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la meme direction dans ce cas IH et
ON ont le meme sens ils sont donc colinéaires>>
au départ c'est juste, <<je sais que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction>>
Il suffit donc de montrer que les droites (IH) et (ON) sont parallèles.
Pour cela, il suffit de remarquer qu'elles sont perpendiculaires à une même droite, la droite D.
Mais la fin de votre affirmation <<IH et ON ont le même sens ils sont donc colinéaires>> est à supprimer.

Ensuite, c'est faux. On montre que les points M, O et I sont alignés afin d'en déduire qu'il existe une homothétie de centre M qui transforme O en I et non l'inverse.
D'ailleurs cette homothétie n'intervient que dans la question 3...
Pour montrer que c'est trois points sont alignés il faut utiliser l'hypothèse : C et C1 sont tangents en M.

Bonne continuation.

[TONY]

Bonsoir et merci de vôtre réponse

donc pour la question :
1) Je sais que deux vectuers non nuls sont colinéaires si et slmnt si ils ont la meme direction , on voit que (IH)et(ON) sont toutes les 2 perpendiculaire a D donc (IH)et(On) sont parrallèles et IH et ON sont colinéaires

2) Deux cercles sont tangents lorsqu'ils n'ont qu'un point commun (point de contact ou point de tangence) , ici ils sont tangent extérieurement
Le cercle C1 n'a qu'un point commun M avec C , alors le centre de chaque cercle et le point de contact sont aligné .
Donc O,M,I sont alignés
3) je bloque pour cette question et logiquement donc pour les autres , il me demande l'image M' de M par h , vu que j'ai aucune notion de l'homothétie c'est un Dm pour découvrir. je n'y arrive pas et je suis très embéter ..


Merci de vôtre aide .

tony

[sos-math(22)]

Rebonsoir Tony,

Il te faut être plus précis dans l'exploitation des hypothèses et de ce que tu en déduis :

1) Il faut expliquer pour quoi (IH) et (IN) sont perpendiculaires à D.
Pour (IH), revenir à la définition de H ;
Pour (ON), comme C est tangent à D en N, on a D perpendiculaire à (ON).

2) Dire que les cercles C et C1 sont tangents en M cela signifie que ces deux cercles admettent une même tangente T en M.
Comme (OM) est perpendiculaire à T et (IM) est également perpendiculaire à T, on a (OM) et (IN) parallèles donc ces trois points sont alignés.

3) Pour la suite, je ne vais pas pouvoir te faire un cours sur les homothéties sur ce forum, cela serait beaucoup trop long... Je ne vois pas d'autre solution que de t'aider de ton livre et de la leçon qu'il contient sur les homothéties.

Bonne continuation.

[tony]

merci

Pour trouver l'image M' de M par h que doi je faire ?
Pouvez vous me montrer un exemple ou alors meme si cela va en mon encontre me donner la réponse pour que je puisse plancher dessus et enfin comprendre
car je n'es pas de cours dessus ...
Silvouplait .

Merci .

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Il vous faut bien comprendre que le but de ce forum n'est ni de dispenser des cours ni de faire les exercices à la place des élèves...
Cela n'a aucun sens d'essayer de répondre à la question 3) si vous n'avez aucune notion sur les homothéties.
Il vous faut commencer par étudier cette notion d'une manière au d'une autre.
Bonne continuation.

[tony]

Oui cela je l'ai bien compris c'était juste pour m'aider je ne voulais pas non plus que vous me la donniez . je vais essayer de plancher dessus et demain je reposterais si j'ai avancé vous pourriez me dire si cela est juste ou non

Bonne soirée
Et a demain


Tony

[sos-math(22)]

C'est entendu ; bon courage.

[Tony]

Bonjour j'ai avancé voici ce que j'obtient :

1 )Je sais que ddeux vecteurs non nuls sont colinéaires si et slmnt si ils ont la meme direction , on sait que H est le projeté orthogonal du point I sur la droite D , on a donc (IH) perpendiculaire a D, et comme C est tangent a D en N on a donc D perpendiculaire a (oN). Donc si deux droites sont perpendiculaire a une meme troisieme alors ces deux droite sont parrallèles donc (IH)et (ON) sont parrallèle , donc IH et ON sont colinéaires

2) Dire que les cercles C et C1 sont tangents en M cela signifie que ces deux cercles admettent une même tangente T en M comme (OM) est perpendiculaire a T , et (IM) également on a (OM) et (IM) parrallèle donc ces trois points O;M;I sont alignés.

3)a) Pour avoir l'image M' de M par h on trace la doite (MK) , k étant donc sur D , puis on trace sa parrallèle en I , qui est donc (IH) la droite (KI) coupe IH , et M' est donc sur C', pour l'image A du point N par h , la droite (NM) coupe (IH) en 1 qui se trouve également sur le cercle C' .

b)Je sais que ddeux vecteurs non nuls sont colinéaires si et slmnt si ils ont la meme direction , on sait que H est le projeté orthogonal du point I sur la droite D , on a donc (IH) perpendiculaire a D et A est l'image du point N par h , mais ossi A est l'image du point H par h de centre I , A est donc sur la droite (IH) de plus ON est de meme sens que IH , et comme C est tangent a D en N on a donc D perpendiculaire a (oN). Donc si deux droites sont perpendiculaire a une meme troisieme alors ces deux droite sont parallèles , donc (ON) et (IA) sont parallèle et donc colinéaires mais de sens contraire


d ) A est aussi l'image de H par une homothétie de centre I donc H, I ,A sont alignés

B)Synthèse : on considère maintenant la figure avec le cercle C1 la droite D et les points I et H
1) Soit M un point du cercle C1 distinct du point A , la droite(AM) coupe la droite D en un point N.
On considère l'homothétie h' de centre M qui transforme A en N

2) construire l'image O du point I par l'homothétie h'
l'homothétie h' est de centre M donc il faut que je fasse l'image O du point I par l'homothéthie h' de centre M
mais je ne voi pas comment la tracer .

Merci d'avance

Tony

[sos-math(22)]

Bonjour Tony,

Je vois effectivement que tu as travaillé.

Pour les questions 1) et 2), c'est bon.

Ensuite, il faut reprendre la question 3) :

Je ne comprends pas bien ta figure car je vois plusieurs points M et N (notamment certains en vert).

Pour M' je crois que tu n'as pas bien compris :

h est un homothétie de centre M donc l'image de M par h est M lui-même ; le centre étant invariant par h.

Ensuite, tu dis que C ' = h (C) est un cercle de centre I ; puisque une homothétie transforme le cercle C de centre O en un cercle de centre I = h (O).

Or, comme M appartient à C, M'=M=h (M) appartient à C' , l'image de C par h.

Donc C' est le cercle de centre I passant par M. C' est donc le cercle C1.

Conclusion : l'image de C par h est C1.

Ensuite, on considère A=h(N).

Comme N appartient à C, A=h(N) appartient à C1. De plus, N, M et A sont alignés. A est donc le point d'intersection de (MN) et de C1.

Essaye de terminer l'exercice et de me renvoyer un message.

Bon courage.

[Tony]

Bonjour , merci beaucoup pour vos réponse qui m'ont aidé .

c) démontrer que kes vecteurs ON et IA sont colinéaires et de sens contraires
Je sais que ddeux vecteurs non nuls sont colinéaires si et slmnt si ils ont la meme direction , on sait que H est le projeté orthogonal du point I sur la droite D , on a donc (IH) perpendiculaire a D et A est l'image du point N par h , mais ossi A est l'image du point H par h de centre I , A est donc sur la droite (IH) de plus ON est de meme sens que IH , et comme C est tangent a D en N on a donc D perpendiculaire a (oN). Donc si deux droites sont perpendiculaire a une meme troisieme alors ces deux droite sont parallèles , donc (ON) et (IA) sont parallèle et donc colinéaires mais de sens contraire
d) A est aussi l'image de H par une homothétie de centre I donc H, I ,A sont alignés .

B)Synthèse : on considère maintenant la figure avec le cercle C1 la droite D et les points I et H
1) Soit M(en vert) un point du cercle C1 distinct du point A , la droite(AM) coupe la droite D en un point N(en vert).
On considère l'homothétie h' de centre M qui transforme A en N.

2) construire l'image O du point I par l'homothétie h'
l'homothétie h' est de centre M donc il faut que je fasse l'image O du point I par l'homothéthie h' de centre M , donc l'image de M par h' est lui même le centre étant invariant par h' . donc M= O

3) je dois démontrer ensuite que ON = OM mais en regardant la figure nous voyons que ce n'est pas égale , et je ne voit pas comment m'y prendre
4) idem pour cette question , car je dois avoir besoin de la précédente .

Merci d'avance

Tony

[sos-math(22)]

Bonjour,
Je vois de nombreuses erreurs et confusions dans votre solution.
Les reprendre serait trop long.
Je vous aide à les corriger :

c) Il suffit de dire que l'image de O par h est le point I ; et de même l'image de N par h est A.
L'image du vecteur \(\vec{ON}\) par h est donc le vecteur \(\vec{IA}\).

Les vecteurs \(\vec{ON}\) et \(\vec{IA}\) sont de sens contraires car le rapport k de l'homothétie h est strictement négatif.

Pour la synthèse,

1) la droite (IH) coupe C1 en A et B tel que B appartienne à [IH].
2) (AM) coupe D en N.
3) O est le point d'intersection de (IM) et de (ON).

Bonne continuation.

[Tony]

Bonjour et merci pour vôtre réponse

J'en suis donc a la synthèse
1) il suffit ici jsute de tracer le point A de C1 tel que H,I ,A soient alignès dans cet ordre (ceci étant fait sur la figure)
2) je dois construire l'image O du point I par l'homothétie h' : 'homothétie h' est de centre M donc il faut que je fasse l'image O du point I par l'homothéthie h' de centre M , donc l'image de M par h' est lui même le centre étant invariant par h' . donc M = O .
3) démontrer que ON=OM , vous m'avez dit que O est le point d'intersection de (IM) et de (ON) , je ne vois toujours pas comment expliquer que ON=OM a moin de dire peut être que M est le centre d'une homothétie h' transformant O en N donc OM=1/2ON , mais je ne pense pas que ce soit cela qu'il faut démontrer
4) il me demande de démonter que le cercle C1 de centre O et qui passe par M est tangent au cercle C1 et a la droite D , soit j'ai faux a dire que O =I car je ne pourrait pas avoir C1 tangent a D

Merci d'avance
Tony

[Tony]

Bonjour
Excusez moi

Vous n'avez Pas recu mon message ? je pense que si , cela fais 2 jours que je l'ai poster mais toujours pas de réponse

Merci d'avance..

Tony

[SoS-Math(9)]

Bonjour Tony,

Je suis désolé de ne pouvoir t'aider mais je n'arrive pas à lire l'énoncé de ton problème ...
Peux-tu le scanner à nouveau et me dire à quelle question tu bloques ?

SoSMath.