Bonjoue j'ai un DM aà rendre pour mardi prochain, et j'ai vraiment du mal :S
Est-ce que vous pouvez m'aider svp, merci =)
F est une fonction définie et dérivable sur R telle que:
F(0)=0 et pour tout réel x, F'(x)=1/(1+x²)
on admet que cette fonctoin existe et on ne cherchera pas à donner une expresssion de F(x). C est la courbe représentant F dans un repère orthonormal.
1.G est la fonction définie sur R par: G(x)=F(x)+F(-x)
a) Justufier que G est dérivable sur R et calculer G'(x). Que peut-on déduire pour G?
b) Calculer G(0), en déduire que F est une fonciton impaire.
2. H est la fonciton définie sur I=]0;+infini[ par: H(x)=F(x)+F(1/x)
a) Justifier que H est dérivable sur I et calculer H'(x);que peut-on dire de H? en déduire que pour tout x e I, H(x)=2F(1)
b) Calculer lim quand x tend vers + infini de F(1/x), en déduire que lim quand x tend vers + infini de F(x)=2F(1).
Quelle est la conséquence graphique de ce résultat?
3. K est la fonction définie sur ]-pi/2;pi/2[ par: K(x)=F(tan x)-x
a) Calculer K'(x). En déduire que, pour tout x de ]-pi/2;pi/2[, K(x)=0
b) Calculer F(1).(on rappelle que tan(pi/4)=1)
4. Dresser le tableau de variation de F sur R.
5. Construire les asymptotes à la courbe C, ses tangentes aux points d'abscisses -1, 0 et 1 et donner l'allure de la courbe C.
Florian
DM, Gros probelemes :s
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SoS-Math(8)
SoS-Math(8)
Bonjour Florian,
On veut bien t'aider, mais il ne sert à rien d'écrire tout l'énoncé.
On ne répondra qu'à la première question et ensuite il faudra nous apporter la preuve que tu as cherché.
Pour la première question:
F(-x) correspond à la composée de la fonction F avec la fonction qui donne l'opposé de x.
Cette deuxième fonction est dérivable quelque soit x, et F est aussi dérivable quelque soit x.
Donc F(-x) est dérivable quelque soit x et la dérivée de F(-x) est égale à \(F'(-x)\times(-1)\).
La fonction G est donc la somme de deux fonctions dérivables quelque soit x, donc G est dérivable et:
G'(x)=F'(x)+[F(-x)]'=F'(x)-F'(-x)=\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+(-x)^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0\)
Donc la fonction G est constante.
A vous de poursuivre.
On veut bien t'aider, mais il ne sert à rien d'écrire tout l'énoncé.
On ne répondra qu'à la première question et ensuite il faudra nous apporter la preuve que tu as cherché.
Pour la première question:
F(-x) correspond à la composée de la fonction F avec la fonction qui donne l'opposé de x.
Cette deuxième fonction est dérivable quelque soit x, et F est aussi dérivable quelque soit x.
Donc F(-x) est dérivable quelque soit x et la dérivée de F(-x) est égale à \(F'(-x)\times(-1)\).
La fonction G est donc la somme de deux fonctions dérivables quelque soit x, donc G est dérivable et:
G'(x)=F'(x)+[F(-x)]'=F'(x)-F'(-x)=\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+(-x)^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0\)
Donc la fonction G est constante.
A vous de poursuivre.
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SoS-Math(4)
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Bonjour,
La fonction H est définie ainsi:H(x)=F(x)+F(1/x) sur ]0;+inf[.
La fonction 1/x est dérivable sur ]0;+infi[( et a pour intervalle image:]0;+infi[), la fonction F est dérivable aussi sur ]0;+infi[.
Donc la fonction F(1/x) est dérivable.
Et attention \([F(1/x)]'=F'(1/x)\times[1/x]'\) (Règle de dérivation de fonctions composées)
Donc H'(x)=F'(x)+[F(1/x)]'.
Et effectuant les bons calculs on trouve que H'(x)=0, donc la fonction H est constante.
Puisqu'elle est constante, alors H(x)=H(1)=F(1)+F(1/1)=2F(1).
Envoyer nous le calcul de H'(x) si vous voulez.
La fonction H est définie ainsi:H(x)=F(x)+F(1/x) sur ]0;+inf[.
La fonction 1/x est dérivable sur ]0;+infi[( et a pour intervalle image:]0;+infi[), la fonction F est dérivable aussi sur ]0;+infi[.
Donc la fonction F(1/x) est dérivable.
Et attention \([F(1/x)]'=F'(1/x)\times[1/x]'\) (Règle de dérivation de fonctions composées)
Donc H'(x)=F'(x)+[F(1/x)]'.
Et effectuant les bons calculs on trouve que H'(x)=0, donc la fonction H est constante.
Puisqu'elle est constante, alors H(x)=H(1)=F(1)+F(1/1)=2F(1).
Envoyer nous le calcul de H'(x) si vous voulez.
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Invité
la fin de l'énoncé n'est pas la bonne, je me suis trompé en recopiant x)
3) T est la fonction définie sur ]-pi/2 ; pi/2[
T(x) = F(tan x) -x
a) calculez T'(x)
qu'en déduisez vous pour la fonction T ?
b) calculez F(1)
4) dréssez le tableau de variation de F sur R
5) tracez la courbe C, et ses asymptotes & tangentes aux points d'abcisses -1 0 et 1
voila =)
je n'arrive pas la 2)b.
3) T est la fonction définie sur ]-pi/2 ; pi/2[
T(x) = F(tan x) -x
a) calculez T'(x)
qu'en déduisez vous pour la fonction T ?
b) calculez F(1)
4) dréssez le tableau de variation de F sur R
5) tracez la courbe C, et ses asymptotes & tangentes aux points d'abcisses -1 0 et 1
voila =)
je n'arrive pas la 2)b.
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SoS-Math(8)
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Effectivement F(0)=0 sert pour la limite:
\(\lim_{x\to+\infty}F(\frac{1}{x})=\lim_{X\to0}F(X)=F(0)=0\)
A partir de là sachant que F(x)=H(x)+F(1/x) et que H(x)=2F(1).....on peut conclure sur la limte de F quand x tend vers + l'infini.
\(\lim_{x\to+\infty}F(\frac{1}{x})=\lim_{X\to0}F(X)=F(0)=0\)
A partir de là sachant que F(x)=H(x)+F(1/x) et que H(x)=2F(1).....on peut conclure sur la limte de F quand x tend vers + l'infini.