Sujet : Aires des cercles .

[Léa]

Les différentes zones d'une cible sont délimitées par des cercles concentriques de rayons r,r2,r3,r4,r5,r6 où r désigne un nombre strictement positif.
On lance une fléchette au hasard et elle atteint la cible.
On estime que la probabilité pour qu'elle atteigne une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone.

a) Exprimer en fonction de r l'aire de chacune des zones A,B,C,D,E,F et l'aire total de la cible
B) Compléter le tableau de proportionnalité et déterminer K
c)déterminer le coefficient de proportionnalité k
d) En déduire la proba d'atteindre chaque secteur
Pour le dessin du Tableau et du cercle j'ai trouvé ce site qui l'affiché : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-421895.html
Sur ce site, il y a les réponses toutes faîtes, mais je ne comprends pas, donc je préfère qu'on m'explique au lieu de recopier bètement .

Bon déja pour le a) J'ai pensé à Aire(A) = Pi x Rayon2
Ensuite pour les autres aires, j'ai essayé des trucs, mais les résultats me semblait pas cohérant ..
&Le problème c'est que sans les aires, j'arrive pas à trouver le reste :/
Merci d'avance pour votre Aide (:

[sos-math(21)]

Bonjour (on se dit bonjour sur ce forum, c'est la moindre des politesses),
le premier disque est entier donc son aire est de \(\pi\,r^2\).
Le second est une couronne donc on fait l'aire du disque extérieur auquel on enlève le disque central : \(\pi\times\,r_2^2-\pi\times\,r^2=\pi(r_2^2-r^2)\)
Et ainsi de suite, de couronne en couronne.

[Léa]

Bonjour,
Donc AireC = Pi(3r)² - Pi(2r)² & Ainsi desuite ..
AireD = Pi(4r)² - Pi(3r)² .. & à Chaque fois on rajoute 1 ..
Après on rempli le tableau avec ces résultats ..
Ensuite pour le C)déterminer le coefficient de proportionnalité k
J'hésite entre la réponse 1/36xPixR² ou36, mais la bonne réponse serait la première ..?
Merci d'avance pour votre aide .

[Léa]

Je rajoute une information
En sachant que Aire x K = Probabilité ..
& Que L'aire 36xPixR² = La probabilité 1

[sos-math(21)]

Ah j'avais mal compris ta notation,
les rayons successifs sont donc r, 2r, 3r et ainsi de suite.
Il faut donc que tu rectifies mon message précédent mais ta démarche est correcte :
Première couronne : \(\pi[(2r)^2-r^2]=3\pi\times\,r^2\)
deuxième couronne : \(\pi[(3r)^2-(2r)^2]=5\pi\times\,r^2\) et ainsi de suite.
Ensuite si ton dernier disque a pour rayon \(6r\), il est correct d'avoir l'aire totale de la cible égale à \(36\pi\times\,r^2\), et il est donc normal de multiplier les surfaces obtenues par \(\frac{1}{36\pi\times\,r^2}\), pour retrouver les probabilités

[Léa]

Et donc pour finir,
Pour en déduire la probabilité d'atteindre chaque secteur on fait :
Proba (A) = ( Pi x R² )x K
Proba ( B) =( 3Pi x R² ) x K
Ainsi desuite ..?

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela et il doit y avoir des simplifications (les \(\pi\) et les \(r^2\) se simplifient et il reste des fractions...

[Léa]

Je ne comprends pa très bien comment on peut simplifier ce calcul ..
Proba (A) = Pi x R² x 1/36PiR² ..
Je pensais à : Proba (A) = Pi x R² x 1/36PiR² , on divise par le Contraire .. Mais je ne pense pas que c'est ça ..

[sos-math(21)]

Tu dois avoir :
\(P(A)=\frac{\pi\,\times\,r^2}{36\times\pi\,\times\,r^2}\) les \(\pi\) et les \(r^2\) se simplifient :
\(P(A)=\frac{\cancel{\pi}\,\times\,\cancel{r^2}}{36\times\cancel{\pi}\,\times\,\cancel{r^2}}\) et il reste \(P(A)=\frac{1}{36}\).
Voilà pour le premier.

[Léa]

Donc pour
Proba ( B) =( 3 x Pi x R²) x 1/36 x Pi x R²
= ( 3 x Pi x R² ) / ( 36 x Pi x R²) - On barre les éléments en gras et ça donne 3/36
& Ainsi desuite ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Effectivement, ta démarche est correcte, il faut juste penser à simplifier la fraction obtenue...

Bonne continuation.

[Léa]

Merci beaucoup pour votre Aide.
Je comprends maintenant la notion des aires pour les cercles et les secteurs.
à Bientot .

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation Léa et n'hésite pas à nous contacter en cas de besoin.