Bonjour, j'ai un exercice à faire mais il y'a quelques questions ou je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider svp?
Deux personnes A et B jonglent avec plusieurs ballons dont un seul ballon rouge. Ce ballon circule entre A et B selon la règle suivante: toutes les 5 secondes,
-si A est en possession de ce ballon, il l'envoie à B avec une proba de 0.6, et il le conserve avec une proba de 0.4.
-si B est en possession de ce ballon, il l'envoie à A avec une proba de 0.7, et il le conserve avec une proba de 0.3.
A. POUR DEMARRER
1.a) représentez le graphe proba traduisant la situation.
ok
b)donnez la matrice de transition M, en notant respectivement 1 et 2 les sommets A et B.
ok
2.on note Pn la matrice ligne de l'état proba à l'étape n et on suppose que
P0=(1 0).
a)calculez P1, P2, P3.
P1=(0.4 0.6)
P2=(0.58 0.42)
P3=(0.526 0.474)
b)quelle est la proba que le jongleur A soit en possession du ballon rouge au bout de 7 sec.? de 14 sec. ? de 16 sec.?
7secondes :0.4
14secondes :0.58
16secondes : 0.526
B. CALCUL DE M^n
1.vérifiez que M=N-0.3R où:
N |7/13 6/13|
|7/13 6/13|
R |6/13 -6/13|
|-7/13 7/13|
ok.
2.a)calculez N², N^3,...,N^n.
N²=N
N^3=N
...
N^n=N
selon la probabilité de l’associativité de la multiplication des fractions.
b)calculez R², R^3,...R^n.
R²=R
idem pour ---> R^n
c)calculez R*N et N*R.
R*N=N*R=0
3.déduisez de ce qui précède que:
M^n= |(7+6(-0.3)^n)/13 (6(1-(-0.3)^n)/13|
|(7(1-(-0.3)^n))/13 (6+7(-0.3)^n)/13|
la je n’y arrive pas pouvez vous m’aider svp ?
C. ETUDE DE Pn
Je me débrouillerais merci.
Merci bien pour le temps que vous y aurez passé...
graphe
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: graphe
Bonjour,
je ne fais pas de commentaire sur ce que tu as fait au préalable, je me contente juste de t'aider pour la fin :
Tu as montré que \(M=N-0.3R\), que toutes les puissances de N sont égales à N et que toutes les puissances de R sont égales à R, ainsi que N.R=R.N=0, autrement dit que les deux matrices commutent.
As tu vu la formule du binôme de Newton, valable pour le produit de matrices qui commutent ?
Je te la donne : \(M^n=(N-0.3R)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}N^k\times(-0.3)^{n-k}R^{n-k}\)
Or dès que k est supérieur ou égal à 1 jusqu'à n-1, les puissances de matrices sont égales à N et R donc on peut les sortir :
\(M^n=\underbrace{(-0.3)^n\times\,R^n}_{rang\, k=0}+\underbrace{N^n}_{rang\, k=n}+\left(\sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}\times(-0.3)^{n-k}\right)N.R\)
Or N.R=0 donc tout vaut zéro sauf les deux premiers termes et comme \(N^n=N\), on a finalement :
\(M^n=N-0.3^nR\), ce qui doit correspondre à ce qu'on te donne.
J'espère t'avoir aidée sur un thème pas facile. C'est un exercice de terminale ?
je ne fais pas de commentaire sur ce que tu as fait au préalable, je me contente juste de t'aider pour la fin :
Tu as montré que \(M=N-0.3R\), que toutes les puissances de N sont égales à N et que toutes les puissances de R sont égales à R, ainsi que N.R=R.N=0, autrement dit que les deux matrices commutent.
As tu vu la formule du binôme de Newton, valable pour le produit de matrices qui commutent ?
Je te la donne : \(M^n=(N-0.3R)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}N^k\times(-0.3)^{n-k}R^{n-k}\)
Or dès que k est supérieur ou égal à 1 jusqu'à n-1, les puissances de matrices sont égales à N et R donc on peut les sortir :
\(M^n=\underbrace{(-0.3)^n\times\,R^n}_{rang\, k=0}+\underbrace{N^n}_{rang\, k=n}+\left(\sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}\times(-0.3)^{n-k}\right)N.R\)
Or N.R=0 donc tout vaut zéro sauf les deux premiers termes et comme \(N^n=N\), on a finalement :
\(M^n=N-0.3^nR\), ce qui doit correspondre à ce qu'on te donne.
J'espère t'avoir aidée sur un thème pas facile. C'est un exercice de terminale ?
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Laura
Re: graphe
bonjour, merci de m'avoir répondu! Oui c'est un exercice de terminale ES
pourriez vous m'aider pour la fin svp
C étude de Pn:
1. En utilisant la question B3 ci-dessus, calculer PN.
J'ai trouvé Pn=P0*M^n
2.On note Pn la probabilité que le jongleur A soit en possession du ballon rouge à la nième étape.
a) Quelle est la valeur de Pn? quelle est sa limite? posons lim Pn=L (lorsque n tend vers l'infini).
b) Trouvez N0 tel que, pour tout n supérieur ou = N0:/Pn-L/<ou= 1/100.
je n'ai rien compris à cette question, et je ne comprends pas d'ou sort le "L" . Help me!
pourriez vous m'aider pour la fin svp
C étude de Pn:
1. En utilisant la question B3 ci-dessus, calculer PN.
J'ai trouvé Pn=P0*M^n
2.On note Pn la probabilité que le jongleur A soit en possession du ballon rouge à la nième étape.
a) Quelle est la valeur de Pn? quelle est sa limite? posons lim Pn=L (lorsque n tend vers l'infini).
b) Trouvez N0 tel que, pour tout n supérieur ou = N0:/Pn-L/<ou= 1/100.
je n'ai rien compris à cette question, et je ne comprends pas d'ou sort le "L" . Help me!
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: graphe
Bonjour Laura,
La question 2b n'est qu'une traduction de la limite de Pn en plus l'infini ...
Rappel : \(\lim_{n \to +\infty}P_n=L\) équivaut à
pour toute valeur a, il existe un entier N0 tel que pour n > N0, Pn \(\in\) ]L-a ; L+a[ soit |Pn - L| < a
Donc sans ton exercice, on veut que tu trouves N0 pour a = 1/100.
SoSMath.
La question 2b n'est qu'une traduction de la limite de Pn en plus l'infini ...
Rappel : \(\lim_{n \to +\infty}P_n=L\) équivaut à
pour toute valeur a, il existe un entier N0 tel que pour n > N0, Pn \(\in\) ]L-a ; L+a[ soit |Pn - L| < a
Donc sans ton exercice, on veut que tu trouves N0 pour a = 1/100.
SoSMath.