Population rurale/urbaine (Suites)

[Antoine (1ère S)]

Bonjour,

On m'a demandé de recréer un nouveau sujet, j'en profite pour joindre l'énoncé :

''Au 1er Janvier 2005, la population urbaine U0 et la population rurale R0 d'un canton sont égales : 1000 habitants au départ. On prévoit que la première augmentera de 6% par an alors que la seconde diminuera de 8% an. On note respectivement Un et Rn les populations urbaine et rurale au 1er Janvier 2005 + n''


a/ Démontrer que les suites u et r sont des suites géométriques et préciser leur raison

==> Je ne sais pas comment justifier, mais la première est géométrique de raison (1 + 6/100 soit 1,06) et la deuxième de (1 - 8/100 soit 0,92) et le premier terme est 1000 pour chacun des deux suites... Mais comment justifier ?


b/ Exprimer Un et Rn en fonction de n

==> Un = U0 * (q)^n
Un = 1000 x (1,06)^n

Rn = R0 * (q)^n
Rn = 1000 * (0,92)^n


c/ Au 1er Janvier de quelle année, la population urbaine du canton deviendra-t-elle supérieure au double de la population rurale ?

==> Aucune idée...



Merci si vous pouvez m'aider et à justifier mes réponses ^^


Bonne journée

Antoine

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans les deux cas, on passe d'une année à l'autre en multipliant par un même coefficient, donc on est bien sur une relation du type : \(U_{n+1}=1,06\times\,U_n\) et \(R_{n+1}=0,92\times\,R_n\) ce qui caractérise bien des suites géométriques.
Pour la suite : puisqu'on part de la même population de 1000 habitants au départ, il suffit de calculer les puissances successives des deux coefficients :
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline &Annee 1&Annee 2&Annee 3&\ldots\\\hline U&1,06&1,06^2&1,06^3&\ldots\\\hline R&0,92&0,92^2&0,92^3&\ldots\\\hline\end{array}\)
et voir à quel moment le coefficient de U devient le double de celui de R

[Antoine (1ère S)]

Bonsoir,

D'accord je vois...


Mais il n'y aucun ''calcul'' à faire ou autre ?

Vous pensez que si je prends ma calculatrice pour le faire, ça marche aussi ?


Merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Il n'y a pas d'autre méthode de niveau première.
Pour trouver le rang n de l'année où l'un est double de l'autre, et ceci de manière calculatoire, il faut utiliser les logarithmes (en terminale) et on trouve \(n\approx4,89\), donc à partir de la cinquième année.
C'est ce que tu trouves ?

[Antoine (1ère S)]

Bonsoir,

Oui, d'après ma calculatrice je trouve en effet que c'est à partir du 5è rang !


Merci encore à vous pour vos précisions !

Vous pouvez verrouiller le sujet ;)

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite.
Sos-math