Les suites...

[Antoine '1ère S']

Hello,

J'ai quelques soucis en maths sur des exercices concernant les suites


Exercice 1

"u est une suite sur N (uniquement des termes positifs).
v est une suite définie sur N par Vn = Un / (1 + Un)''

Je dois dire si chacun des implications suivantes est vraie ou fausse et justifier la réponse^^


a/ Si la suite u converge, alors la suite v converge

==> J'ai mis oui, mais je ne sais pas comment justifier...

Car si u converge vers un réel défini, forcément Un / (Un +1 ) converge vers un réel défini lui aussi...


b/ Si la suite u est croissante, alors la suite v l'est aussi

==> Juste également je pense mais comment justifier ?


c/ Si la suite v converge, alors la suite u converge

==> Si la suite v converge alors Un / (Un + 1) converge donc forcément u converge aussi non ?



Exercice 2

''Au 1er Janvier 2005, la population urbaine U0 et la population rurale R0 d'un canton sont égales : 1000 habitants au départ. On prévoit que la première augmentera de 6% par an alors que la seconde diminuera de 8% an. On note respectivement Un et Rn les populations urbaine et rurale au 1er Janvier 2005 + n''


a/ Démontrer que les suites u et r sont des suites géométriques et préciser leur raison

==> Je ne sais pas comment justifier, mais la première est géométrique de raison (1 + 6/100 soit 1,06) et la deuxième de (1 - 8/100 soit 0,92) et le premier terme est 1000 pour chacun des deux suites... Mais comment justifier ?


b/ Exprimer Un et Rn en fonction de n

==> Un = U0 * (q)^n
Un = 1000 x (1,06)^n

Rn = R0 * (q)^n
Rn = 1000 * (0,92)^n


c/ Au 1er Janvier de quelle année, la population urbaine du canton deviendra-t-elle supérieure au double de la population rurale ?

==> Aucune idée...


Voilà, désolé si c'est un exercice par topic mais comme je trouve que ces deux exercices se rejoignent...

Merci si vous pouvez m'aider et à justifier mes réponses ^^


Bonne journée

Antoine

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

Pour l'exercice 1 :
1) tu poses \(\lim_{n \to +\infty}u_n=l\) et comme \((u_n)\) est positive, alors \(l>0\) (donc \(l\neq{-1}\)).
Tu peux alors calculer la limite (en + infini) de \(v_n\).

2) Pour connaître les variations de \((v_n)\) il suffit de trouver le signe de \(v_{n+1}-v_n\).

3) Ici c'est faux ... pour le prouver il suffit de trouver un contre exemple ... utilise pour \(u_n\) une suite divergente de référence ...

Voila pour le moment.
SoSMath.

[Antoine (1ère S)]

Bonjour,

Merci pour votre aide !


Donc :

1/ Je pars donc de la limite de Un lorsque n tend vers +infini, et ensuite je peux donc en déduire la limite de Vn je présume
(Si j'ai bien compris la méthode qui me permette de justifier ceci)

Ainsi je trouverais forcément que la limite de Vn (lorsque Un converge) converge elle aussi.


2/ En faisant Vn+1 - Vn, je dois donc arriver à la fin à une chose du genre Un+1 - Un qui me montrera que la suite est croissante ?
(Si oui alors je vois)


3/ Et bien, si la suite Vn converge (c'est-à-dire vers un réel précis, imaginons 3) alors pourquoi la suite Un ne convergerait pas ?

Je ne comprends pas trop ici... Si Vn converge vers un nombre quelconque (je sais pas moi... genre 22), alors cela sous entend que Un a une limite convergente non ?


Merci de votre aide, je pense avoir compris les deux premiers, mais pas le 3è...

[SoS-Math(9)]

Antoine,

Pour le 1/ et 2/ c'est la méthode à suivre ...
Pour le 3/, je t'aide un peu ... Prenons \(u_n=n\), cette suite diverge.
Alors \(v_n=\frac{n}{1+n}\). Quelle est alors la limite de \(v_n\) quand n tend vers plus l'infini ?

SoSMath.

[Antoine (1ère S)]

Bonsoir,

Et bien cela fait +inf / (+inf +1) soit vers 0 non ?

Donc d'après votre exemple, si j'ai bien compris, en prenant une suite divergente pour Un, alors on peut trouver que Vn converge.


Ce qui prouve que si la suite v converge, alors la suite u ne converge pas forcément et peut diverger.


Après, c'est ce que j'ai cru comprendre ^^'

Donc je peux justifier cela simplement en utilisant un exemple ? Aucun cas général pour démontrer cela ?


PS: Pour le 2, j'ai essayé de faire ce que vous me disiez et j'arrivais à une fraction bizarre et j'en ai conclu simplement que c'était croissant car il y avait des Un sur des Un+1 mais vu que la suite u est croissante et que 1 est positif, alors forcément Vn+1 - Vn > 0 et donc la suite v est croissante ? Est-ce bon ?

En vous remerciant,

Antoine

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la 2, tu formes la différence : \(v_{n+1}-v_n=\frac{u_{n+1}}{1+u_{n+1}}-\frac{u_n}{1+u_n}=\frac{u_{n+1}(1+u_n)-u_n(1+u_{n+1})}{(1+u_{n+1})(1+u_n)}\), en développant et en réduisant, on a donc : \(v_{n+1}-v_n=\frac{u_{n+1}-u_n}{(1+u_{n+1})(1+u_n)}\), donc si u est croissante, alors \(u_{n+1}-u_n\geq\,0\), donc, \(v_{n+1}-v_n\geq\,0\) et la suite v est aussi croissante.
Le dernier est faux donc il faut utiliser un contre-exemple :
celui proposé par mon collègue est très bien \(u_n=n\) est un suite divergente, alors que \(v_n=\frac{n}{1+n}=\frac{n\times\,1}{n\times\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\) est une suite convergente vers 1.

[Antoine (1ère S)]

Bonjour,

J'ai bien compris pour le 3 mais pas pour le 2, car je ne comprends pas vraiment votre réduction ^^'


Il y a deux termes qui disparaissent alors je me demandais si c'est moi qui n'est pas compris (ce qui semble le plus probable), ou si c'est vous qui aviez mal réduit (peu probable)

Voilà, merci à vous !

[SoS-Math(9)]

Antoine,

Il n'y a pas d'erreurs ....
Développe \(u_{n+1}(1+u_n)-u_n(1+u_{n+1})\) et tu trouveras \(u_{n+1}-u_n\).

SoSMath.

[Antoine (1ère S)]

Bonjour,

Ah oui merci je comprends.

Donc ensuite il suffit que je dise que le signe de cette différence est positif vu que la suite u est croissante ?

Que faire du dénominateur ? Je peux dire qu'il est positif car tous les termes de la suite u sont positifs ?


Merci bien

Antoine

[sos-math(21)]

Bonjour,
la suite u est croissante donc le numérateur est positif par définition de la croissance d'une suite.
par ailleurs, le dénominateur est un nombre positif (la suite u est positive d'après l'énoncé).
Ainsi, le quotient est positif ce qui permet de dire que la différence \(v_{n+1}-v_n\) est positive donc que la suite v est croissante.

[Antoine (1ère S)]

Bonjour !

Merci encore pour votre aide, j'ai compris.


Cependant, je ne comprends pas trop comment faire la question 1 avec la méthode proposée...

En utilisant ce que vous me dites, je trouve que la suite v converge vers l / (l+1)...

[SoS-Math(9)]

Antoine,

Ta limite est juste ... et donc elle est bien finie car l est différent -1.

SoSMath.

[Antoine (1ère S)]

Bonsoir !

D'accord merci, je vois comment procéder :


1. Je dis que la suite u a une limite l lorsque n tend vers +inf.

Or la suite u a des termes positifs, donc cette limite est supérieure à 0 soit l > 0.

(l est par ailleurs différent de -1)


Et la lim de Vn c'est l / (l+1) et comme l est différent de -1...

Je peux donc dire que si la suite u converge (vers un réel l imaginons), alors la suite v convergera aussi (vers un réel l / (l+1)) ?


Cordialement.

[sos-math(21)]

Oui, c'est tout à fait cela.
Bon courage pour la suite.

[Antoine (1ère S)]

Bonjour et désolé du retard,

Merci beaucoup pour votre aide ;)


Est-ce que je dois recréer un sujet pour l'autre exercice qui me pose problème ou pouvons-nous continuer sur celui-là ?

Cordialement.