DM: fonctions

[Catherine]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire, et je bloque pour les deux dernières questions.. J'espère que vous pourriez m'aider.. Merci d'avance !

Exercice 2 :

On a tracé ci contre les courbes représentatives des fonctions f:x→ x² ( fonction carré )
g:x→ 1/x ( fonction inverse )

1) A l'aide des courbes ci-dessus résoudre graphiquement, pour x≠0 l'inéquation x²>1/x et donner les intervalles solution.
J'ai mis pour cette question : ]1;+∞[ ?
2) Résolution algébrique de l'inéquation x²>1/x
J'ai trouvée : x>1/x³ , je suis pas sure..
a) Prouver que pour tout x≠0 , x²>1/x → x³-1>0 si x >0
ou x³-1<0 si x<0
J'ai mis : Quand on mutiplie par x : x>0 alors on ne change pas de signe d'inégalité x³>1 , alors que si on mutiplie par x<0 alors on change x³<1 car lorsque l'on mutiplie un nombre par un négatif, le signe d'inégalité change.. ( Je sais pas si c'est juste.. )
b) Prouver que pour tout x≠0 , x³-1=(x-1)((x+(1/2))²+(3/4))
J'ai dévelopé cette dernière formule, qui est égale à x³-1 donc c'est bon.
C) Justifier alors que pour tout x≠0 ; ((x+(1/2))²+(3/4))>0 puis en déduire que (x-1)((x+(1/2))²+(3/4)) a le meme signe que (x-1)
d) En déduire le signe de x³-1 puis les solutions de x²>1/x .

Merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la résolution graphique, si c'est sur \(\mathbb{R}\) tout entier, il te manque un bout il y a aussi tout \(\mathbb{R}_{-}\) qui est solution.
la question 2 ne commence qu'au a) donc ton truc

J'ai trouvée : x>1/x³ , je suis pas sure..

est inutile et faux par ailleurs.
Sinon, les explications pour les deux inéquations sont correctes.
Pour le b, c'est bon.
Pour le c, tu as \(\underbrace{(x+(1/2))^2}_{carre\,donc\,positif}+\underbrace{(3/4)}_{nombre\,positif}\) donc la somme de deux termes positifs est toujours positive et donc le signe de \(x^3-1\) est donné par le signe de \(x-1\)
donc sur : \(\mathbb{R}_{-}\), \(x-1<0\) donc \(x^3-1<0\) ce qui donne bien tout \(\mathbb{R}_{-}\) solution
sur \(\mathbb{R}_{+}\) \(x-1>0\), dès que x>1 donc on retrouve bien \(x^3-1>0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\)

[Catherine]

Bonjour,
Oui, mince, j'ai oubliée l'intervalle pour le coté négatif. Euh.. alors c'est ]-∞;0] ?

Ah, je croyais que c'était une question la 2..
Euh.. merci beaucoup pour ton aide, mais j'ai pas très bien compris la fin de ton raisonement ..
Et la question d) je fais comment... ?

Merci.

[sos-math(21)]

Pour la d, tu réunis les solutions des deux inéquations sur chacun des intervalles...
reprends ce que je t'ai dit.

[Catherine]

Mais pour la c) ça dit pas quel signe ils ont .. si ?
Ok je vais essayer.. mais j'ai pas tout compris, mais merci !

[sos-math(21)]

Il faut synthétiser toutes les informations obtenues avec les questions précédentes :
tu as montré que résoudre l'inéquation \(x^2>\frac{1}{x}\) est équivalente à résoudre :
- \(x^3-1<0\) sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) ;
- \(x^3-1>0\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) ;
or la factorisation qu'on te fait trouver te permet de dire qu'étudier le signe de \(x^3-1\) revient à étudier le signe de x-1. donc si on reprend :
- il faut résoudre \(x^3-1<0\) sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) , ce qui revient donc à résoudre \(x-1<0\), ce qui est toujours vrai sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\). Donc les solutions venant de cette partie-là sont tous les nombres de l'intervalle à savoir \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) ;
-il faut ensuite résoudre \(x^3-1>0\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) , ce qui revient à résoudre \(x-1>0\) dont les solutions sur cet intervalle sont données par l'intervalle \(]1\,;\,+\infty[\).
Au final, quand on réunit les deux cas on a bien comme solutions \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et \(]1\,;\,+\infty[\), ce qui correspond bien à ce que l'on trouve graphiquement.
Est-ce plus clair ?

[Catherine]

Je commence à comprendre, merci pour les explications !
Et .. le signe de x^3-1 est positif il faut dire ensuite ? Je me perds un peu avec tous ça.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut étudier le signe de \(x^3-1\) sur deux parties de \(\mathbb{R}\) :
il faut résoudre \(x^3-1<0\) sur les réels négatifs ;
il faut ensuite résoudre \(x^3-1>0\) sur les réels positifs.
Ensuite on réunit les intervalles solutions.
J'ai l'impression de me répéter....

[Catherine]

Bonjour,
Excuse moi de te faire perdre ton temps à te répéter !
Je viens de comprendre. Merci beaucoup !

[sos-math(21)]

Si tu as compris, c'est l'essentiel.
cela ne m'ennuie pas de répéter, on est plutôt habitué dans le métier.
A bientôt sur sos-math