limites et suites

[hello :)]

Soient un réel t>ou=0 et un entier naturel n>ou=2
on considère la fonction f définie sur [0, +infini[ par f(t)= (1+t)n-1-nt
1- démontrer que
pour tout n appartient à N*, pour tout a appartient à R, a^n-1=(a-1)(a ^n-1+ a ^n-2+...+a+1)
2-étudier les variations de f sur [0, +infini[
3-en déduire que pour tout entier naturel n>ou=2 et pour tout réel t>ou=0 on a:
(1+t)^n>ou=1+nt (1)
4-en utilisant la propriété de limite par comparaison et l'inégalité de Bernoulli (1), déduire que la suite réelle (Q^n) a pour limite + lorsque q>1

Bonsoir,
pouvez vous m'aider SVP, je n'arrive pas à trouver la dérivée de la fonction pour étudier les variations, les n et t me perturbent...et je ne vois pas le rapport entre le 4- et le reste de l'exercice...><
merci d'avance pour votre aide!

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Pour la fonction f on dérive par rapport à la variable t, donc n est une constante .... de plus si tu développe f(t) tu vas trouver une fonction simple ....

Pour la question 4, Q ?

SoSMath.

[hello :)]

oui c'est Q^n a pour limite +l'infini c'est pourquoi que je ne comprends pas...
et quand on développe avec le ^n, c'est comme une identité remarquable:(a+b)^n = a^n +2ab+b^n ou pas??

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

Attention au developpement .... \((a+b)^n\neq{}a^n +2ab+b^n\)
Tu peux essayer de developper \((a+b)^3=(a+b)^2(a+b)= ...\)

On a bien pour q >1, \(\lim_{n \to +\infty}q^n=+\infty\).
Pour le démontrer il faut utiliser la réponse à la question 3 et un théorème comparaison sur les limites (regarde ton cours ou cahier d'exercices).

SoSMath.

[Hello :)]

on fait comme si 1+t=Q ??
mais je vois vraiment pas comment développer ma fonction avec les puissances n, si vous pouviez l'éclairer! :)

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Tes messages ne sont pas clairs.
Tu veux de l'aide pour quelle question ?

sosmaths

[hello :)]

Pour la question 4 et l'étude des variations de la fonction f
je cherche à calculer sa dérivée, et pour cela à développer la fonction f, mais je ne sais pas comment développer (a+b)^n...
et pour le 4, je ne vois pas trop le rapport entre Q et les questions précédentes, et je demandais s'il fallait associer Q à 1+t et donc Q^n à (1+t)^n

[SoS-Math(4)]

En écrivant mal ton énoncé , tu trompes tous ceux qui le lisent.

Tu as écrit f(t) =(1+t)n-1-nt

mais je pense qu'il faut comprendre f(t)= (1+t)^n-1-nt.

On a : Si u est une fonction de t , alors la dérivée de u^n est : nu^(n-1)u' ( voir cette formule dans ton cours) . Ca va te permettre de de calculer la dérivée de f.

sosmaths

[hello :)]

Bonsoir,
excusez moi pour la faute de frappe, je suis vraiment désolée... :S
oui, j'ai pensé à dériver comme ça mais je tombe sur f'(t)=n*(1+t)^n-1 -n
et après je ne sais pas comment trouver les racines et le signe de f'(t)...

[sos-math(21)]

Bonsoir,
pour connaitre le signe de f', cherche à trouver les racines de f', tu résous f'(x)=0, ce qui donne \(n(1+t)^{n-1}=n\) soit en simplifiant par n on a \((1+t)^{n-1}=1\) en passant aux logarithmes on a alors \((n-1)\ln(1+t)=0\) donc \(\ln(1+t)=0\) donc \(1+t=1\) et t=0.
Par ailleurs, la fonction f' est croissante (à vérifier en partant de \(0\leq\,t_1<t_2\) et en y allant à la main) donc pour tout x>0, \(f^{,}(x)\geq\,f^{,}(0)(=0)\) donc f' est positive et f est croissante sur \(\mathbb{R}_+\)

[hello :)]

mais je n'ai pas vu les logarithmes, n'y a t il pas une autre méthode?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il y a bien sûr une autre méthode :
\((1+t)^{n-1}=1\) signifie que \(1+t=1\) (le seul nombre réel dont une des puissances vaut 1 est 1 lui-même).
c'est même encore plus simple...

[sos-math(21)]

J'ai oublié dans mon message précédent :

Bonjour,
Il y a bien sûr une autre méthode :
\((1+t)^{n-1}=1\) signifie que \(1+t=1\) (le seul nombre réel positif dont une des puissances vaut 1 est 1 lui-même).
c'est même encore plus simple...

,
C'est vrai pour un nombre positif (car il y aurait aussi -1)

[Hello :)]

merci beaucoup pour votre aide, seulement lorsque l'on cherche les variations de f' en cherchant des valeurs à la main, on remplace t ou n pour les valeurs testées quand on fait f'(1) par exemple ou f'(2) ??

[sos-math(21)]

Il faut partir de deux réels positifs \(t_1\leq\,t_2\)
ensuite on ajoute 1 ce qui ne change pas l'ordre : \(1+t_1\leq\,1+t_2\)
Ensuite on élève à la puissance (n-1) qui est une opération croissante : \((1+t_1)^{n-1}\leq\,(1+t_2)^{n-1}\) et on continue ainsi jusqu'à obtenir l'expression de f' :
\(f^{,}(t_1)\leq\,f^{,}(t_2)\), ce qui permet de dire que f' conserve l'ordre entre les nombres et leurs images, donc f' est croissante (strictement si l'on veut)