Limite de suites

[Claude]

Bonjour, j'aurai besoin de votre aide pour mon dm de maths, voila l'énoncé :
soit u la suite définie pour tout entier naturel n par un=1+(1/(2n+1))
1)a) dans un repére (0,i,j) on trace la droite d'équation y=1, on considere le "tuyau" constitué par d et par la droite d1 d'équation y=1+10^-1
montrer quil existe un entier k à partir duquel tous les points de coordonnées (n, un) avec n>k sont dans le tuyau. représenter u0, u1,...u7
b) plus généralement, k étant un naturel quelquconque, montrer que l'on peut trouver un entier n tel que 1-10^-k<un<1+10^-k
merci d'avance pour vos réponse!

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est une histoire de limite : ta suite converge clairement vers 1.
Donc par définition d'une limite pour tout \(\epsilon\,>0\), tu peux trouver un rang à partir duquel tous tes termes sont proches de 1 à une distance inférieure à \(\epsilon\) : autrement dit il existe N entier naturel, tel que pour tout entier \(n\geq\,N\), \(|u_n-1|\leq\,\epsilon\) soit \({-}\epsilon\leq\,u_n-1\leq\,\epsilon\),
donc pour le tuyau, on prend \(\epsilon=10^{-1}\)on veut que \(|u_n-1|\leq\,10^{-1}\), or comme \(u_n-1=\frac{1}{2n+1}\), on a \(\frac{1}{2n+1}\leq\,10^{-1}\), je te laisse trouver la valeur "seuil" à partir de laquelle cette inégalité est vraie...\(n\geq\ldots\)
Pour le cas général c'est la même démarche : \(\frac{1}{2n+1}\leq\,10^{-k}\).... donc \(n\geq\ldots\)

[Claude]

merci pour votre réponse, mais je ne comprend pas ce que représente le symbole e????

[sos-math(21)]

\(\epsilon\), c'est un nombre qu'on peut rendre aussi petit qu'on veut, c'est dans la définition d'une limite (niveau supérieur).
Cela veut dire qu'on peut s'approcher aussi près qu'on veut de la limite.

[Claude]

ah d'accord, il reste cependant une chose que je ne comprend pas, pourquoi formez vous la différence un-1??? et pourquoi l'encadrez vous par les valeur e et -e???

[Claude]

ah d'accord mais il me reste encore des zones d'ombres, par exemple pourquoi avez vous former la différence un-1? et pouruqoi l'avez vous encadrez des valeurs -e et e????

[sos-math(21)]

Je forme la différence \(u_n-1\), car 1 est la limite de la suite, donc je mesure l'écart entre les termes de la suite et la limite vers laquelle ils se rapprochent. par définition, cet écart se réduit de plus en plus, il tend vers 0, donc on peut le rendre aussi petit qu'on veut (au signe près, ce qui explique le \(+\epsilon\) et le \({-}\epsilon\), car les termes de la suite pourraient alterner autour de la limite, par valeurs supérieures ou inférieures, ce qui n'est pas le cas ici mais j'ai pris le cas général)
donc quel que soit le réel \(\epsilon\) choisi, aussi petit qu'on veut, on trouve un rang à partir duquel, les termes de la suite sont proches de leur limite avec un écart inférieur à \(\epsilon\).
est-ce plus clair ?

[Claude]

d'accord merci beaucoup je commence à comprendrre :D mais au niveau de la 1ere S comment peut on nommer ce fameux e??

[sos-math(21)]

Bonjour,
Normalement en première S, on n'utilise pas ces notations, je m'en suis juste servi pour aider à illustrer la notion de limite, comme quelque chose dont on peut s'approcher aussi près que l'on veut.
L'important, c'est que cela t'ait permis de mieux appréhender la notion de limite.
J'espère avoir répondu à ta question.

[Claude]

d'accord je pense avoir compris!!
je dois encore réflechir comment amorcer mon dm avec la notion de limite, en effet mon dm se compose de questions+cours, et la notion de limite d'une suite ne vient qu'après les questions que je vous ait posées :/ et sinon pour prouver que 1 est la limite de un il suffit de calculer la limite de un lorsque n tend vers plus l'infini, et de voir qu'elle vaut 1 (?)

[sos-math(21)]

Comme ta suite \((u_n)\) est définie en fonction de n, il suffit d'étudier la limite de ta suite comme celle d'une fonction, en regardant ce qui se passe quand \(n\to\,+\infty\)

[Claude]

C'est bien ce que j'avais en tête ! merci beaucoup pour votre précieuse aide :D si j'ai encore des questions, je demanderai ;)

[SoS-Math(9)]

A bientôt Claude,

SoSMath.

[Claude]

Petite vérification rapide :
n>ou égale à 4
et plus généralement n>ou égal à ((1-2*10^-k))/(2*10^-k)
?
quand je fais avec k=1 (question suivante) je retombe bien sur 4!

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela moi, j'étais parti sur quelque chose de plus simple :
\(\frac{1}{2n+1}\leq\,10^{-k}\) soit en prenant les inverses ce qui change le sens de l'inégalité :
\(2n+1\geq\,10^k\) soit en passant le 1 de l'autre côté et en divisant par 2 : \(n\geq\frac{10^k-1}{2}\)