Nombre dérivé

[Manon (TS)]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide au sujet d'un corrigé que je ne comprends pas.

L'énoncé est le suivant:
Déterminer sans calcul le nombre dérivé en 0 de la fonction f:
f(x)= 1-2x+3x tan x

et le corrigé:

f a pour ensemble de définition celui de la fonction tangente; en particulier, f est définie sur l'intervalle ]-╥/2;╥/2[
f est la somme de la fonction affine 1-2x et de la fonction 3xtan x
De plus, pour tout x de ]-╥/2;╥/2[, 3xtan x= x*(3tan x)
lim quand x tend vers 0 de 3tan x=3tan0=0
ce qui prouve que f est dérivable en O et f'(0)=-2.

Avec le calcul j'y arrive, mais avec le corrigé ci dessus je n'arrive pas à comprendre en quoi le fait que lim quand x tend vers 0 de 3tan x=3tan0=0,
prouve que f est dérivable en O et f'(0)=-2.

[sos-math(22)]

Bonsoir Manon,
Je suppose que ton exercice s'inscrit dans le cadre de la notion d'approximation affine d'une fonction en un point.
On a ici : \(f(x)-(1-2x)=3xtan(x)\).
Comme la fonction tangente est continue en zéro, on a : limite en 0 de tan égale à tan(0)=0.
La droite d'équation \(y=1-2x\) est donc tangente à la coure de f en 0.
Le coefficient directeur de cette droite est donc le nombre dérivé de f en 0.
D'où f ' (0)=-2.
Bonne continuation.

[Manon (TS)]

Bonsoir,

Pourquoi le coefficient directeur d'une droite est égale au nombre dérivé ? Est-ce toujours le cas?
Pour obtenir -2, on peut aussi faire la dérivée de y=1-2x non?

Merci de votre réponse.

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Il te faudrait revoir ton cours de 1S.
Dis rapidement, pour une fonction f dérivable en a, le nombre dérivé de f en a est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en a.
Bonne continuation.

[Manon (TS)]

Merci .

[sos-math(22)]

Bonne continuation.