application du produit scalaire et triangle quelconque

[Benoit]

Bonjour, j'ai un problème sur les applications du produit scalaire et j'avoue ne pas savoir comment m'y prendre . Merci de bien vouloir me donner des pistes.
Voici le problème:

Dans un triangle ABC, la hauteur, la bissectrice, et la médiane relative au sommet A partagent l’angle BÂC en quatre angles de mesure a, en degré. Après avoir esprimer en fonction de a tous les angles de la figure, déduiser les mesures des angles des triangles ABC.(voir figure)


De la figure on en déduit que les angles ABH=AIH=90-a
AIO= 90 +a
AOI= 90-2a
AOC=90+2a
ACO=90-3a

Cependant en essayant avec les équivalences et le fait qu'il y a 180 ° dans un triangle on n'aboutit à rien et je ne vois pas quelle aplication du produit scalaire utilisé (car ce problème est posé dans le chapitre des applications du produit ). Merci de bien vouloir m'aider.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Benoit,

On peut, par exemple utiliser, la formule des sinus dans les triangles ABO et AOC (sachant que OB = OC).

SoSMath.

[Benoît]

Bonjour merci de m'avoir répondu mais j'ai de nouveau un problème car en effectuant la loi ds sinus dans les triangles AOC et ABO en utilisant le fait que BO=OC on trouve : BO/sin3a = AB/sin90-2a = AO/sin 90-a e t OC/sina = OA/sin90-3a = AC/sin 90+2a
D'où OC/sina = OA/sin90-3a et OC/sin3a = OA/sin90-a
D'où OC= OA sina/sin90-3a = OA sin3a /sin90-a
D'où sina/sin90-3a = sin3a /sin90-a
D'où sina sin 90-a = sin90-3a sin3a or sin3a= 2cosa sina cosa + (cos²a-sin²a) sina
sina sin90-a = sin90-3a (2cos²a sina + (cos²a-sin²a)sina)
sin 90-a= sin90-3a (2cos²a +cos²a - sin²a)
sin 90-a = sin90-3a(4 cos²a-1)
cosa =cos3a (4cos²a-1)
cosa =(2cos²a-1)cosa + 2sinacosa )(4cos²a-1)
1 =(2cos²a -1 + 2sina cosa ) (4cos²a-1)

et à partir de là je bloque. Donc d'abord est-ce bien la bonne méthode et comment je pourrai dénouer tout ça ? Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Benoit,
ce que tu as fait est correcte ... mais tu compliques les calculs !

tu as trouvé : "sina sin 90-a = sin90-3a sin3a" (Attention : sin(90-3a) \(\neq\) sin90-3a)
qu'il faut écrire : sina sin(90-a) = sin(90-3a) sin3a.

Il faut utiliser sin(90-a) = cos ...
puis 2sin(x)cos(x) = .... (à toi de retrouver les formules trigonométriques !)

SoSMath.

[Benoît]

Merci de la piste mais je rencontre de nouveau un problème:
en écrivant sina sin(90-a) = sin(90-3a)sin3a on a sin(90-a)=cosa et sin (90-3a)= cos 3a
on trouve sina cosa = sin3a cos3a
D'où 1/2 x 2 x sina cosa = 1/2 x 2 x sin3a cos3a
D'où 1/2 sin²a = 1/2 sin²3a
D'où sin²a= sin² 3a
D'où sina = sin 3a

Mais je ne vois pas comment en déduire a. Merci d'avance de bien vouloir me donner des pistes.

[SoS-Math(9)]

Benoit,

tu as commis une erreur : 2 sin(x) cos(x) \(\neq\) sin²(x) ...

ensuite tu sais que si sin(x) = sin(y), alors x = y + \(k2\pi\) ou x = \(\pi\) - y + \(k2\pi\) où \(k\in{}Z\).

SoSMath.

[Benoît]

Bonjour en revoyant les calculs comme vous me l'avez dit on obtient
sina sin(90-a) = sin(90-3a) sin3a
sina cosa = cos3a sin3a
2sina cosa = 2 cos 3a sin3a
sin(2a) = sin(6a)

D'où 2a=6a + 2kpi ou 2a =pi-6a + 2k'pi avec k et k' appartenant à Z
-4a=2kpi ou 8a =pi + 2k'pi
a=-kpi/2 ou a =pi/8 + k'pi/4
Or a est un angle géométrique donc il ne peut pas être négatif et la mesure principale de a est la mesure de son angle géométrique, donc a=pi/8 .
Est-ce que c'est bien cela où j'ai commis une erreur? Merci d'avance.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
votre démarche est correcte sauf vos remarques de la fin :

a=-kpi/2 ou a =pi/8 + k'pi/4

Or a est un angle géométrique donc il ne peut pas être négatif
k appartient à Z donc -kpi/2 peut être positif mais 4a est l'angle d'un triangle donc 4a<180° donc a< 45° et a = pi/2 n'est pas possible

et la mesure principale de a est la mesure de son angle géométrique, donc a=pi/8

La mesure principale d'un angle orienté n'est pas toujours égale à la mesure de son angle géométrique car la mesure principale est comprise entre -pi et pi donc peut être négative
Mais a est bien égal à pi/8
Bon courage pour terminer.