Probabilite

[Joe]

Bonjour,
J'ai un exercice qui me pose quelques problemes.
Voici l'énoncé:
Un eleve debute un jeu dans lequel il a autant de chance de gagner ou perdre dans la premiere partie.
On admet que lorsqu il gagne une partie, la probabilite qu il gagne la suivante est de 0.6; alors que s il perd, la probabilite qu il perde la suivante est de 0.7.
Pour n entier naturel non nul on note:
Gn l eleve gagne la n ieme partie
Pn l eleve perd la n ieme partie
1) Calculer G1 et P1
2)Calculer G2 et P2
On note pour tout n non nul,
xn=P(Gn) et yn= P(Pn)
3) Demontrer que pour tout n non nul on a:
xn+1= 0.6xn+0.3yn
yn+1=0/.4xn+0.7yn
4) On pose vn= xn+yn et wn=4xn -3yn
a) Demontrer que vn est constante
b) prouver que wn est geometrique et exprimer wn en fonction de n
c) Determiner pour tout n non nul; l'expression de xn en fonction de n.
Etudier la convergence de (xn).
Voici ce que je trouve:
1) P(G1)=1/2 et P(P1)=1/2
P(G2)=9/20 et P(P2)=11/20 de plus 9+11=20 et 20/20=1 ce qui confirme nos resultats.
Pour la 3 je ne sasi pas s'il faut simplement s'aider du texte ou faire des calculs ??
4)a) pas de probleme
b) wn est geometrique de raison 10/3
c) Je bloque aussi .
Merci de votre aide
Joe

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour les expressions par récurrence, il faut raisonner sur le cas précédent.
\(x_{n+1}\) mesure la probabilité de gagner au rang n+1. Au rang n soit il a gagné soit il a perdu :
\(G_{n+1}=G_{n+1}\cap(G_n\cup P_n)=(G_{n+1}\cap G_n)\cup (G_{n+1}\cap P_n)\) soit en passant aux probabilités sachant que les événements sont incompatibles :
\(P(G_{n+1})=P(G_{n+1}\cap G_n)+P(G_{n+1}\cap P_n)\) soit en utilisant les probas conditionnelles :
\(P(G_{n+1})=P(G_n)\times\,P_{G_n}(G_{n+1})+P(P_n)\times\,P_{P_n}(G_{n+1})\) d'après les données du texte, on a :
\(P(G_{n+1})=x_n\times0,6+y_n\times0,3\) et on refait de même pour l'autre relation.
Une fois qu'on a (wn) et (vn) en fonction de n, on reprend les deux expressions et on exprime xn en fonction de wn et de vn et on aura l'expression en fonction de n.

[Joe]

Bonsoir,
Merci de votre aide, je trouve que (xn) converge vers o .
Est ce juste ?

[sos-math(20)]

Bonjour Joe,

Votre limite me semble correcte.

Par contre la suite w n'a pas pour raison \(\frac{10}{3}\) : il vous faudra reprendre votre calcul car je pense que la raison est \(\frac{3}{10}\).


Bonne journée.

SOS-math

[Joe]

Bonjour,
Oui j'avais oublier de vous le dire pour la raison.
Merci de votre aide
Joe

[sos-math(21)]

Bon courage,
A bientôt sur sos-math