Complexe

[Andre]

Bonsoir,
J'ai un exercice qui me pose probleme.
Voici l'enonce:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ). L’unité graphique est 4 cm.
Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit la suite (zn)n ∈ ℕ de nombres complexes par : z0 = 0 et, ∀n ∈ ℕ, zn + 1 = λ· zn + i.
On note, ∀n ∈ ℕ, Mn le point d’affixe zn.
a) Calcul de zn en fonction de n et de λ :
1) Calculer z1, z2 et z3 en fonction de λ.
2) Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : zn = i.

b) Étude du cas λ = + i :
1) Montrer que z6 = 0.
2) Pour tout entier naturel n, exprimer zn + 6 en fonction de zn.
3) Montrer que, pour tout entier naturel n, Mn + 1 est l’image de Mn par une rotation ne dépendant pas de n, dont on précisera le centre et l’angle.
4) Représenter les points M0 à M6 dans le repère (O ; , ).

c) Caractérisation de certaines suites (zn) :
a) On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que λk = 1.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité : zn + k = zn.
b) Réciproquement, monter que :
s’il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n, on ait l’égalité zn + k = zn alors : λk = 1.
Voici ce que j'ai trouve pour la question a)1)
z1= i
z2= λi + i avec λ different de 0
z3= λ²+λi + i avec λ different de 0
Pour la question suivante je bloque pouvez vous m'aider ?
Merci,
Andre

[SoS-Math(11)]

Bonsoir André,

Cette question 2 me surprend car en effet \(z_1=(\lambda+1)i\) et \(z_2=(\lambda^2+\lambda+1)i\) ce qui n'est pas égal à i donc ce qui contrdit ce qu'il faut démontrer à la question 2.

Pour le b) c'est pareil je ne trouve pas ce qui est demandé.

Es-tu sur de ton énoncé ?

A bientôt sur le forum.

[Andre]

Bonsoir,
En effet, la question 2) et la question b) il est faut.
Je vais le reecrire:
2) Demontrer que, pour tout entier n positif ou nul: zn =((λ^n-1)/ λ-1) i.
b) Etude du cas λ= 1/2 + (racine3/2)i
Merci de votre aide,
Andre

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Me voila rassuré,

Dans ma première réponse, j'ai mis i en facteur, on peur continuer de même, pense alors que \(\lambda^n-1=(\lambda - 1)(1 + \lambda+\lambda^2 + ...\lambda ^{n-1})\) et conclus.

Pour le b \(\lambda=\frac{1+\sqrt3i}{2}\) pense que \(\lambda=e^{\frac{i\pi}{3}\) donc que \(1 + \lambda+\lambda^2 + ...\lambda ^{5}=0\) et conclus.

Le problème est basé sur les racines n-ième de l'unité dont la somme vaut 0 et qui sont représentées sur le cercle trigonométriques par les sommets d'un polygone régulier obtenu par rotation d'un angle de \(\frac{2\pi}{n}\).

Bon courage

[Lilian]

Bonjour,
J'ai un exercice similaire et j'ai un problème pour la question b) 3), j'ai remarqué que :
z(n + 1) = λ· zn + i =e^i(pi/3) zn+i
De plus lorsque l'angle est pi/3 on a affaire à un triangle équilatéral mais je ne comprend pas trop comment faire.
J'ai réussi toutes les autres questions mais celle-ci me pose problème.
Merci d'avance et bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Lilian,

L'angle est bien pi/3 donc pour faire un tour complet il faut faire six rotations du même angle pour retomber sur le même point.
Pour trouver le centre de la rotation, tu construis M0, M1 et M2, le centre C est l'intersection des médianes de [M0M1] et de [M1M2].
Pour déterminer ses coordonnées tu résous l'équation M0C² = M2C².

Bon courage