Formules de duplication et addition

[John (1ère S)]

Bonjour,

Cela fait quelques heures que je penche sur un exercice où je ne comprends pas grand chose...

Énoncé : "Demontrez que pour tous réels x et y :

cos (x + y) * cos (x - y) = (cos x)^2 - (sin y)^2 ou (cos y)^2 - (sin x)^2

Ainsi que sin (x + y) / sin (x - y) = (sin x)^2 - (sin y)^2 ou (cos y)^2 - (cos x)^2


J'ai essayé de développer, factoriser... Rien n'y fait.

Je suis bloqué avec les priorités des signes et tout cela :/


Merci de votre aide !

John

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

je te fais le premier :

cos(x+y) * cos(x-y)= [cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)][cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)]= cos²(x)cos²(y)-sin²(x)sin²(y)= (attention astuce)=
cos²(x)cos²(y)+cos²(x)sin²(y)-cos²(x)sin²(y)-sin²(x)sin²(y)=cos²(x)[cos²(y)+sin²(y)]-sin²(y)[cos²(x)+sin²(x)]=cos²(x)-sin²(y)

bon courage pour la suite.

sosmaths

[John (1ère S)]

Bonjour,

J'ai compris le système sauf le passage de la première à la seconde étape...

Pouvez-vous m'expliquer svp ?

Merci (car je ne comprends pas pourquoi vous multipliez des éléments en trop et pas les autres...)

[sos-math(21)]

Bonjour,
je reprends le message de sos-math(4) :
\(\cos(x+y) \times\ cos(x-y)= [\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)][\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)]= \underbrace{\cos^2(x)\cos^2(y)-\sin^2(x)\sin^2(y)}_{identite\,(A+B)(A-B)=A^2-B^2}\)

pour ensuite parvenir à nos fins, il faut arranger l'écriture on utilise la relation \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\)
\(cos^2(x)cos^2(y)-sin^2(x)sin^2(y)=\cos^2(x)[1-\sin^2(y)]-[1-\cos^2(x)]\sin^2(y)\)
Développe tout cela et réduis, il doit te rester ce que tu veux...

[John (1ère S)]

Bonsoir,

Je ne vois pas la suite de votre message avec le résultat qui m'intéresse ^^

Merci beaucoup si vous pouvez réécrire ou détailler, car je ne saisis pas le passage de la ligne 1 à la ligne 2...


Merci !

[SoS-Math(1)]

Bonsoir John,

Et bien ,moi, c'est ton message que je ne comprends.

Peux-tu réécrire les deux lignes dont tu ne comprends pas le passage de l'une à l'autre?

A bientôt.

[John (1ère S)]

Bonjour,

En fait, je ne comprends pas ici

"pour ensuite parvenir à nos fins, il faut arranger l'écriture on utilise la relation \cos^2(x)+\sin^2(x)=1

cos^2(x)cos^2(y)-sin^2(x)sin^2(y)=\cos^2(x)[1-\sin^2(y)]-[1-\cos^2(x)]\sin^2(y)"


Une fois la mise en facteur, je ne vois pas quoi faire ?!

A moins que je développe et trouve cos²x - sin²y ?


Si oui, je comprends pour ce résultat, mais ça veut dire que je trouve l'autre en mettant un autre élément en facteur ?

Merci beaucoup !

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Je pense que tu as compris maintenant.

A bientôt.