Produit scalaire - formules d'addition et de duplication

[Titi]

Bonsoir.
J'ai quelques difficultés pour un problème de mathématiques :

a et b sont deux réels de l'intervalle \([0 ; \frac{\pi}{2}]\) tels que sin a = \(\frac{1}{2}\) et sin b = \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

1. Calculez cos a et vérifiez que cos b = \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

2. a) Calculez cos(a + b) et sin(a + b)
b) Déduisez-en (a + b) puis b

1. Pour cos a, j'ai utilisé la formule \(cos^2 + sin^2 = 1\)
Ainsi, j'ai pu écrire \(cos^2 a = 1-sin^2 a\) pour obtenir au final \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Pour le b, je bloque. On nous dit de vérifier mais à chaque fois, en utilisant la même relation, j'ai du \(\frac{8}{16}\)

Pour le 2 a), je n'ai pas eu de problèmes.
Pour le cosinus, j'ai obtenu \(\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}\) pour cos (a + b) et \(\frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{4}\) pour le sinus.

b) Je n'y arrive pas du tout. J'ai juste trouvé a = \(\frac{\pi}{6}\) mais c'est tout...

Pourriez-vous me donner quelques pistes pour avancer ?
Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on te demande de vérifier que \(\cos(b)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), tu peux partir de l'expression de sin b
\(\cos^{2}(b)=1-\sin^{2}(b)=1-\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{16}=\frac{16-(6-2\sqrt{12}+2)}{16}=\frac{8+2\sqrt{12}}{16}=\frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^2\) donc on a bien \(\cos(b)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
Pour la suite, il faut utiliser les formules :
\(\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\) et \(\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\), en faisant les calculs et en simplifiant, on obtient
\(\cos(a+b)=\sin(a+b)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) donc \(a+b=\frac{\pi}{4}\).
Puisque tu as trouvé \(a=\frac{\pi}{6}\), tu retrouves b.

[Titi]

Je vous remercie ; j'ai arrangé mes calculs et j'ai trouvé cela.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tant mieux si tu as retrouvé cela, le reste est facile après.
Bon courage.