Exercice sur les barycentres

[Léo12]

Bonjour,

J'ai un devoir à rendre et l'exercice sur les barycentres me pose quelques problèmes, voici le sujet :
1°) Sur Geogebra :
a) Placer les points A (– 3 ; 0), B (0 ; 5) et C (2 ; 4) ; ne plus afficher les axes, ni le quadrillage. Définir trois curseur a, b et c d’intervalle [– 5 ; 5] et d’incrément 0,1. Tracer (AB), (BC) et (AC) (ne pas afficher leur étiquette). Définir S = a + b + c et G, le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) (pour ceci, saisir « G = (a*A + b*B + c*C)/S» (cette notation est prohibée hors de Geogebra qui l’adopte par analogie avec : vecteur OG = (a*vecteur OA + b*vecteur OB + c*vecteur OC)/(a+b+c) ) Désolé pour les vecteurs je n'ai pas réussi à les faire sous TeX

Définir de même G1, G2 et G3 les barycentres respectifs de (A, a) et (B, b), de (B, b) et (C, c), et de (A, a) et (C, c).

b) Faire varier a et b. En déduire les conjectures qui donnent les conditions sur a et b pour que :
alpha) G1 décrive la droite (AB) ;
beta) G1 décrive le segment [AB].

c) Faire varier a, b et b. En déduire les conjectures qui donnent les conditions sur a, b et c pour que :
alpha) G décrive le plan (ABC) ;
beta) G décrive l’intérieur du triangle ABC.

d) Définir qa = a/S (qa s’obtient par « q_a »), qb = b/S et qc = c/S. En faisant varier a, b et c, conjecturer la position de G par rapport aux régions du plan définies par les droites (AB), (BC) et (AC) suivant les valeurs de qa, qb et qc.
e) Imprimer l’écran (avec « Print Screen » par exemple et en noir & blanc (niveaux de gris, cartouche noire pour éviter d’user les cartouches couleur !))
*
2°) Prouver les conjectures du 1°) b), c) et d) pour ce dernier cas, on se contentera d’une seule région du plan définie par (AB), (AC) et (BC), qui ne soit pas l’intérieur de ABC.

Géogébra :

Téléchargez la figure ici.

J'ai déjà fait le début mais je ne suis pas certain des réponses :

b) alpha) G1 décrive la droite (AB) si a et b appartiennent à R
beta) G1 décrive le segment [AB] si a=0 ou b=0

c) alpha) Je n'ai pas bien compris comment faire, nous n'avons pas encore vu la géométrie dans l'espace et les plans
beta) D'après moi G décrive l'intérieur du triangle ABC <=> a,b et c appartiennent à R*+

Pour la question d) j'ai remarqué que lorsque le barycentre G "sort du triangle d'un coté" q_autre côté devient négatif, par exemple si G est dehors du triangle du côté [AC] alors qb sera négatif (je sais pas si c'est vraiment une conjecture, c'est un peu fouillis).

Suis-je dans la bonne voie ?

Merci d'avance !

Léo12

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Tes conjectures semblent fausses ...

1b)\(\alpha\)) Observe ce qui se passe si a = -b ....
\(\beta\)) Regarde suivant les signes de a et b ...

1c)\(\alpha\)) Observe ce qui se passe lorsque S = 0 .....
\(\beta\)) Ta réponse est incomplète ... rgearde ce qui se passe lorsque a, b et c sont négatifs ....

1d) Ta conjecture semble incomplète ... ce n'est pas grave car il faut la démontrer !

SoSMath.

[Léo12]

Merci de vos réponses, j'avais complètement oublié pour S différent de 0.

Donc pour :
1)b)alpha) La condition pour G1 décrive la droite (AB) est :
- a différent de -b (le barycentre ne serait pas défini)

beta) Les conditions pour que G1 décrive le segment [AB] est :
- a différent de -b (le barycentre ne serait pas défini)
- a et b positifs et non nuls

1)c)alpha) La condition pour que G décrive le plan (ABC) est :
- S = 0 (le barycentre n'est pas défini??)

beta) Les conditions pour G décrive l'intérieur ABC sont :
- S différent de 0 (le barycentre ne serait pas défini)
- a, b et c positifs ou a, b et c négatifs

d) J'ai remarqué que lorsque qa est négatif, le barycentre G est "derrière la droite (BC)", que lorsque qb est négatif le barycentre G est "derrière la droite (AC)" et quand qc est négatif le barycentre G est "derrière la droite (AB)". Je ne sais pas si c'est juste et je ne vois pas très bien comment l'écriture correctement, la notion de plan est un peu flou encore pour moi.

Léo12

[SoS-Math(9)]

Léo,

1b) beta) a et b de même signe ....
1)c)alpha) La condition pour que G décrive le plan (ABC) est : S différent de 0 !

Pour la question 1d), tu as 6 régions du plan en dehors du triangle ABC ...

SoSMath.

[Léo12]

Je pense avoir compris pour la question d) enfin c'est juste "comment nommer les régions" mon problème, je vous propose cette rédaction :

On peut conjecturer que :

- Lorsque q_a < 0 ou lorsque q_b et q_c < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (AB) et (AC) en dehors du triangle ABC
- Lorsque q_b < 0 ou lorsque q_a et q_b < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (BA) et (BC) en dehors du triangle ABC
- Lorsque q_c < 0 ou lorsque q_b et q_a < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (CA) et (CB) en dehors du triangle ABC

D'après moi nous avons donc bien les 6 régions du plan (2 par tiret).

Est-ce bien rédigé ?

Merci encore,

Léo12

[SoS-Math(9)]

Léo, je ne comprends pas bien :
" la région du plan définie par les droites (AB) et (AC) en dehors du triangle ABC".

Pour définir les régions il faut regarder les sommets du triangle. Pour le sommet A, il y a :
* la région définie par les deux droites (AB) et (BC), et opposé à l'angle \(\widehat{BAC}\).
* la région définie par les deux droites (AB) et (BC), du côté de l'angle \(\widehat{BAC}\) sauf la région du triangle ABC.

De même pour les autres sommets.

SoSMAth.

[Léo12]

On peut conjecturer que :

- Lorsque q_a < 0 , le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (AB) et (AC) du côté de l'angle BAC sauf la région ABC ;
- Lorsque q_b et q_c < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (AB) et (AC) du côté opposé à l'angle BAC ;
- Lorsque q_b < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (BA) et (BC) du côté de l'angle ABC sauf la région ABC ;
- Lorsque q_a et q_b < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (BA) et (BC) du côté opposé à l'angle ABC ;
- Lorsque q_c < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (CA) et (CB) du côté de l'anglais BAC sauf la région ACB ;
- Lorsque q_b et q_a < 0, le barycentre G décrit la région du plan définie par les droites (CA) et (CB) du côté opposé à l'angle ACB.

Je crois que c'est plus clair maintenant.

Pour les questions suivantes je pense qu'il faut utiliser les ensembles de points avec les barycentres mais je ne suis pas sur.

Léo12

[SoS-Math(9)]

Léo,

Pour démontrer tes conjectures, il faut utiliser la définition du barycentre ...

G = bar{(A,a) (B,b)} <=> a\(\vec{GA}\) + b\(\vec{GB}\) = \(\vec{0}\)
Donc les vecteurs \(\vec{GA}\) et \(\vec{GB}\) sont colinéaires.
Donc A, B et G sont alignés, donc G appartient à (AB).

A toi de continuer.

SoSMath.

[Léo12]

Tout d'abord merci pour vos éclaircissements. Si j'ai bien compris, je propose ce qui suit pour démontrer le 1.b.beta) :

On veut démontrer que lorsque G1 est le barycentre des points (A, a) et (B, b) avec a et b de même signe, G1 décrive le segment [BC].
On raisonne par contraposée (?), si G1 est le barycentre des points (A, a) et (B, b) avec a et b de signes différents, on obtient :
a\(\vec{GA}\) + b\(\vec{GB}\) ≠ \(\vec{0}\)
Ce qui est absurde

(Je sais pas du tout si c'est bon...)

Pour la question c) alpha) :
On veut démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On a G1 décrive la droite (AB) d'après la question précédente, donc de la même manière G2 décrive la droite (BC) et G3 décrive la droite (AC).
On a a+b+b+c+a+c non nul, donc d'après la propriété d'associativité du barycentre, G est le barycentre des barycentres G1, G2 et G3. Donc les points A, B et C ne peuvent être alignés or le barycentre de trois points non alignés et donc A, B et C décrivent le plan (ABC).

La rédaction est un peu incorrecte mais je crois qu'il faille démontrer que les points ne sont pas alignés.

Léo12

[SoS-Math(9)]

Léo,

Ce que tu as fait est faux !

Si G appartient à [AB], alors \(\vec{GA}\) et \(\vec{GB}\) sont de sens contraire.

Or \(\vec{GA}=\frac{-b}{a}\vec{GB}\), donc \(\frac{-b}{a}\) est négatif.

Donc \(\frac{b}{a}\) est positif, donc a et b sont de même signe.

SoSMath.

[Léo12]

Je n'avais pas du tout penser à cela, sinon que pensez vous de ce que j'avais écrit pour la c) ? Faut-il démontrer que A, B et C ne sont pas alignés ?

Léo12

[SoS-Math(9)]

Léo,

ABC est un triangle.
Donc en principe il est non aplati, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
Pour démontrer que G appartient au plan (ABC) (ou est dans le triangle ABC), tu peux utiliser les coordonnées de G dans le repère \((A,\vec{AB},\vec{AC})\).

SoSMath.

[Léo12]

Bonsoir,

Êtes vous sur que je puisse prendre les cordonnées parce que notre professeur demande de retirer repère etc dans l'énoncé.
Est-ce que je peux démontrer (je ne sais pas comment) que G appartient à des droites inclus dans le plan ABC ?

Cordialement,

Léo12

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Je ne vois pas d'autre méthode pour y parvenir.

SoSMAth.