Dm

[Mayra]

Bonjour ma prof de math m'a donné un DM mais je n'arrive pas à le faire pouvez vous m'aider svp ?
énoncé :
ex 1 :
1 ) Le nombre d'or est égal à\(\frac{1+sqrt5}{2}\). on le note ϕ ( lire phi)
a) donner l'arrondi au millième de ϕ. 1.618
b) démontrer sans l'aide de la calculette que : ϕ² = ϕ+1. 1.618² = 1.618+1
2.618 = 2.618
2) un rectangle de longueur L est de largeur l est appelé rectangle d'or lorsque\(\frac{L}{l}\) = ϕ
a) construire un carré ADEF
b) Marquer le milieu I de [DE] ; tracer un arc de cercle de centre I et de rayon IF. terminer la construction du rectangle ABCD.
c) Démontrer que ABCD est un rectangle d'or
Ex 2 :
L est la longueur du carré circonscrit au cercle l est la longueur du coté inscrit dans ce cercle
Combien vaut l/L ? prouver le résultat.

[SoS-Math(23)]

Bonsoir Mayra,
1°)a) Pour l'arrondi : ok
b) Pour prouver que l'égalité est vraie, il faut calculer d'une part ϕ² en utilisant la valeur exacte : \(\frac{1+sqrt5}{2}\)
\((\frac{1+sqrt5}{2})^2\) = ...... on peut utiliser une identité remarquable ( a + b )² = a²+2ab+b²
Puis exprimer d'autre part : ϕ+ 1 = \(\frac{1+sqrt5}{2}\)+1 = ...
Les calculs doivent être séparés. On ne compare les résultats qu'à la fin : ils doivent être égaux.
2°)

a) construire un carré ADEF
b) Marquer le milieu I de [DE] ; tracer un arc de cercle de centre I et de rayon IF. terminer la construction du rectangle ABCD.
c) Démontrer que ABCD est un rectangle d'or

Je pense qu'il manque une donnée : le point B ou le point C ??? Il y a de nombreux rectangles ABCD possibles quand on ne connait qu'un côté [AD] et l'arc de cercle ne sert à rien pour l'instant !
c) Pour démontrer que ABCD est un rectangle d'or : il faut calculer ( ou plutôt exprimer ) le rapport :\(\frac{L}{l}\)
Ce rapport sera exprimé en fonction de la longueur du côté [AD] que l'on peut noter x. Mais pour cela : il faudrait déjà voir ABCD pour exprimer ces mesures !

Exercice n° 2 :
As-tu essayé de faire une figure ? Prends un exemple pour voir ce qui se passe...

Bon courage.
A bientôt.

[Mayra]

Φ² =\(\frac{(1+sqrt5)^2}{2^2}\)
Φ² =\(\frac{1^2+2*1*sqrt5+sqrt5^2}{2^2}\)
Φ² =\(\frac{1+2sqrt5+5}{4}\)
Φ² =\(\frac{6+2sqrt5}{4}\)



Φ+1 = \(\frac{1+sqrt5}{2}+1\)
\(\frac{1+sqrt5}{2}+\frac{2}{2}\) = \(\frac{3+sqrt5}{2}\)
\(\frac{1+sqrt5}{2}+\frac{2}{2}=\frac{3+sqrt5}{2}\)

Je ne trouve pas les mêmes résultats

[Mayra]

Voici la figure

[Mayra]

et la figure de l'exercice 2

[sos-math(21)]

Re-bonjour,
tes figures me semblent correctes.

[Mayra]

sinon mes calcules au dessus des figures sont bon ?

[SoS-Math(23)]

Bonjour,
Pour les calculs :
Φ² oK mais on peut simplifier par 2 ( si besoin en mettant 2 en facteur au numérateur ) : on obtient bien ( 3 +\(sqrt{5}\))/2
et donc Φ²= Φ²+1.
Pour ABCD :
En s'aidant de la figure ( sans oublier certaines données : ADEF est un carré )
Note x la longueur AD = DE
Le but est d'exprimer DC en fonction de x.
Pour pouvoir calculer le rapport \(\frac{L}{l}\)=\(\frac{DC}{AD}\)
DC= DI + IC = DI + IF ( en utilisant le rayon du cercle ! )
Pour exprimer IF en fonction de x : on peut utiliser le triangle IFE rectangle en E où EF = AD = x et IE = ID = \(\frac{x}{2}\)

Bon courage.
A bientôt

[Mayra]

triangle rectangle...
theoreme de pythagore
IF² = EF² + IE²
= x²+(x/2)²
= x²+x²+4
IF = \(sqrt{x^2+x^2+4^}\)
=x+x+2

DC = x/2+x+x+2

DA/DC = x/(x/2+x+x+2)

[SoS-Math(23)]

Bonsoir,
Une erreur d'inattention je pense !
IF²= x²+(x/2)² = x²+x²+4 ???
(x/2)²= \(\frac{x}{2}\)*\(\frac{x}{2}\)= \(\frac{x^2}{4}\)
IF² = x² + \(\frac{x^2}{4}\) = ...
reste à réduire au même dénominateur et à poursuivre le calcul de IF. ( on obtient : IF=\(\frac{x*sqrt{5}}{2}\) )
puis de DC...

Bon courage.
A bientôt.

[Mayra]

donc IF² = 4x²/4 + x²/4
= 5x²/4
IF = \(sqrt{5x^2/4}\)
= 5x/2

[sos-math(21)]

Bonsoir,
juste une erreur de calcul à la fin : \(\sqrt{\frac{5x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{5}}{2}\).

[Mayra]

Merci pour votre aide !

[SoS-Math(23)]

Bonsoir,
et
Bonne continuation !