Bonjour ,
Voila j'ai un dm de math pour demain et je n'ai pas compris.
J'espère que vous pourrais m'aider .
L'objectif de cette exercice est de démontrer que 2 est un irrationnel. Pour cela on va mener un raisonnement par l'absurde. Supposons que 2 est un irrationnel c'est-à-dire qu'il existe deux nombres a et b strictement positifs tel 2 = a/b (E'). La fraction étant irréductible.
1) Rappeler la définition 2 , puis élever au carré a/b .
2 ) Démontrer en utilisant l'égalité (E') , que a² = 2b² (E"").
3) Pourquoi peut-on affirmer que le nombre a est pair ?
4) Il existe donc un nombre entier k tel que a=2k.
Démontrer en utilisant l'égalité (E"") que b² = 2k².
5) Que peut-on en déduire sur le nombre b ?
6) Que peut-on ainsi en déduire sur la fraction a/b ? Conclure .
Merci de bien vouloir m'aider
Dm de math. Irrationalité de racine carré de 2
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Dm de math. Irrationalité de racine carré de 2
Bonsoir,
Qu'as tu cherché ? As-tu compris le début de ton devoir ?
On part d'une supposition : on suppose que \(\sqrt{2}\) est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il s'écrit sous la forme d'un quotient de deux entiers que l'on peut supposer irréductible : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), en élevant au carré, on a donc \((\sqrt{2})^2=\frac{a^2}{b^2}\), par définition de la racine carrée, on a \((\sqrt{2})^2=2\), donc \(\frac{a^2}{b^2}=2\) soit en multipliant par \(b^2\) : \(a^2=2b^2\).
Le nombre \(a^2\) s'écrit donc 2 fois quelque chose , donc c'est un entier pair.
Quel type d'entier ont leur carré pair ? Les impairs ou les pairs ? tu sauras alors si \(a\) est pair ou impair.
Voilà pour le début
Qu'as tu cherché ? As-tu compris le début de ton devoir ?
On part d'une supposition : on suppose que \(\sqrt{2}\) est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il s'écrit sous la forme d'un quotient de deux entiers que l'on peut supposer irréductible : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), en élevant au carré, on a donc \((\sqrt{2})^2=\frac{a^2}{b^2}\), par définition de la racine carrée, on a \((\sqrt{2})^2=2\), donc \(\frac{a^2}{b^2}=2\) soit en multipliant par \(b^2\) : \(a^2=2b^2\).
Le nombre \(a^2\) s'écrit donc 2 fois quelque chose , donc c'est un entier pair.
Quel type d'entier ont leur carré pair ? Les impairs ou les pairs ? tu sauras alors si \(a\) est pair ou impair.
Voilà pour le début