spécialité maths

[Olympe]

Bonjour voilà j'ai un soucis avec un devoir maison de spécialité maths sur le décryptage pouvez-vous m'aider je vous en serai très reconnaissante.
Voici l'énoncé,
Un cryptalaniste doit déchiffrer le message suivant :
YM MGGKAM MGN GMYZMN en sachant seulement qu'il s'agit d'un cryptage affine du type y congrue à ax+b (mod.26) où x est le rang de la lettre avant le cryptage (A a le rang 0, ...)et où y est le rang de la lettre obtenue après cryptage (a et b entiers naturels ) .
Sachant que les lettre les plus fréquentes en français sont le E , puis le S , il fait donc l'hypothèse que le M correspond à E et le G à S .
1/ Démontrer que la détermination de a et de b revient à résoudre le système :
12 congrue à 4a+b (mod.26) E est transformé en M
6 " " 18a+b (mod.26) S " " " en G
Pour cette question je pense avoir trouvé mais je ne sais pas vraiment comment redigé ma réponse :
Si le cryptanaliste pense que M correspond à E alors comme M est au rang 12 et E au rang 4 on a y=12 et x=4 ( M se transforme en E ) donc en remplacant on a 12 congrue à 4a+b (mod.26) il en est de même S est transformé en G d'où 6 congrue à 18a+b (mod.26)
2/a- En retranchant nembre à nembre les 2 congruences , démontrer que : 14a=-6+26µ où µ est un entier relatif .
D'après les opérations sur les congruences comme on a deux congruences avec le même module on peut retrancher membre à membre est-ce juste ?

d'après la division euclidienne 12=26u+4a+b d'ou 12-4a-b=26u
de même 6-18a-b=26u
soit 6-18a-b=12-4a-b donc 14a=-6 et là je suis bloquée je ne sais pas comment faire pour trouvé 14a=-6+26u
b- En déduire que 7a= -3+13µ

c- Résoudre l'équation 13µ-7a =3 avec µ et a appartiennent à l'ensemble Z.
Déterminer a , on prendra la plus petite solution positive .
d- Déterminer b13-7a=3
soit 13u-7v=1
avec l'algorythme d'euclide, je trouve u=-1 et v=-2
donc 133u-73v=3
ce qui nous fait: 13-3-7-6=3
donc on a:
13-7a=13-3-7-6
13(+3)=7(a+6)
Donc 7 divise 13(+3) et comme 7 est premier avec 13 alors d'apres le théoreme de Gauss, 7 divise (+3)
on a alors:
7k=(+3)
=-3+7k
et de meme a=-6+13k
Mais voilà maintenant je ne vois pas comment déterminer a et b. Sachant qu'on recherche un moyen de décrypter.

3/ Décrypter le message .
Merci pour votre aide future Olympe

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Pour 2)a) tu soustrais les 2 congruences ce qui implique que 6 congru à -14a ( modulo 26), et d'après la définition du cours ça signifie que 6+14a est divisible par 26, ce qui signifie que il existe un entier u tel que ........

b) il suffit de diviser par 2.

c)d)on te dit de prendre la plus petite valeur de a, donc tu prends a=7 tu en déduis b.

Tu testes avec les lettres E et S, puis tu décryptes ton message.

sosmaths

[Olympe]

Bonjour merci de m'avoir répondu,

Voilà je ne suis pas sure de tout comprendre car je trouve a=13k-6 et je dois prendre la plus petite valeur de a telle que a soit premier avec 26 ert vous me dite de prendre a=7 or la plus petite valeur de a c'est 3 PGCD(3;26)=1 non ? Pouvez m'indiquer pourquoi je ne comprend pas le résonnement et me donner plus d'explications si cela ne vous ennui pas ?
Mes remerciements et salutations distinguées, Olympe

[SoS-Math(4)]

tu as trouvé que a s'écrivait : a=13k-6, k étant un entier.

Encore on te demande, parmi toutes ces valeurs de trouver la plus petite valeur ( positive , je suppose). Donc c'est a=7 en faisant k=1.

En remplaçant a par sa valeur dans 4a+b=12 (modulo 26) et dans 18a+b=6 (mod 26) tu vas trouver b=10 ( par exemple)

Donc y=7x+10

Ensuite tu peux décrypter le message.

sosmaths

[Olympe]

Bonjour merci de votre aide après avoir réfléchit sur le sujet où vous m'avez guidé je reste cependant encore dans le flou.
En effet je ne parvient pas encore à comprendre comment trouver le valeur de b.

J'ai bien compris pourquoi a était égal à 7 mais ensuite je ne parvient pas à déterminer b car :
12 congrue à 4a+b (mod.26) signifie 12=26u+4a+b d'ou 12-4a-b=26u
6-18a-b=26u or en remplacant a par 7 et en essayant de résoudre le système 12=26u+4a+b et 6=26u+18a+b je trouve des équation incompatibles et ceal ne marche pas je ne vois donc pas comment trouver b à l'aide des congruences que manifestement je ne maitrise pas totalement !

Merci de m'indiquer une piste de reflexion et de m'expliquer où mon résonnement est erroné, je vous en serai très reconnaissante. Olympe.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Olympe,

4a+b=12 (modulo 26) or a = 7, donc
28+b= 12 (modulo 26)
26 + 2+ b = 12 (modulo 26)
soit 2+ b = 12 (modulo 26)
soit b = 10 (modulo 26)

Pour la deuxième équation :
18a+b=6 (mod 26) or a = 7, donc
126+ b = 6 (mod 26)
26*5-4 + b = 6 (mod 26)
-4 + b = 6 (mod 26)
soit b = 10 (modulo 26)

SoSMath.

[Olympe]

Bonjour,

Merci infiniment pour votre aide vous m'avez permis de comprendre et de résoudre enfin mon problème je vous souhaite un excellent week-end avec mes remerciement sincères Olympe

[SoS-Math(2)]

Merci et à bientôt peut-être sur SoS-Math