pourriez vous s'il vous plaît m'éclairer sur ce qu'il faut faire à la question 2.a)? Car je suis totalement perdue. Merci!
Comparaison de suites
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Lucie
Comparaison de suites
Bonjour,
pourriez vous s'il vous plaît m'éclairer sur ce qu'il faut faire à la question 2.a)? Car je suis totalement perdue. Merci!
pourriez vous s'il vous plaît m'éclairer sur ce qu'il faut faire à la question 2.a)? Car je suis totalement perdue. Merci!
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sos-math(21)
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Re: Comparaison de suites
Bonjour,
commence par calculer \(f(e^n)=\frac{e^n\times\ln(e^n)}{e^n+1}=\frac{n\times\,e^n}{e^n+1}\) car \(\ln(e^n)=n\)
ensuite tu as donc : \(f(e^n)=n\times\frac{e^n}{e^n+1}\), or la fraction \(\frac{e^n}{e^n+1}\) est composée d'un numérateur positif \(e^n\) divisé par le même nombre qu'au numérateur mais augmenté de 1, donc cette fraction est inférieure à 1, car on divise un nombre par un nombre plus grand \(e^n<e^n+1,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\).
Par ailleurs, ta fonction est croissante sur l'intervalle considéré (on est après 1) : donc si on reprend l'inégalité \(f(e^n)\leq\,n\), on peut écrire \(n=f(\alpha_n)\) et on a donc \(f(e^n)\leq\,f(\alpha_n)\), comme la fonction est strictement croissante et continue, elle est définie une bijection et les antécédents sont dans le même ordre que les images donc on a \(e^n\leq\,\alpha_n\)
commence par calculer \(f(e^n)=\frac{e^n\times\ln(e^n)}{e^n+1}=\frac{n\times\,e^n}{e^n+1}\) car \(\ln(e^n)=n\)
ensuite tu as donc : \(f(e^n)=n\times\frac{e^n}{e^n+1}\), or la fraction \(\frac{e^n}{e^n+1}\) est composée d'un numérateur positif \(e^n\) divisé par le même nombre qu'au numérateur mais augmenté de 1, donc cette fraction est inférieure à 1, car on divise un nombre par un nombre plus grand \(e^n<e^n+1,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\).
Par ailleurs, ta fonction est croissante sur l'intervalle considéré (on est après 1) : donc si on reprend l'inégalité \(f(e^n)\leq\,n\), on peut écrire \(n=f(\alpha_n)\) et on a donc \(f(e^n)\leq\,f(\alpha_n)\), comme la fonction est strictement croissante et continue, elle est définie une bijection et les antécédents sont dans le même ordre que les images donc on a \(e^n\leq\,\alpha_n\)
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Lucie
Re: Comparaison de suites
Merci pour votre aide, j'ai enfin compris comment répondre a cette question! Pourtant je ne comprends pas en quoi elle nous avance pour déterminer la limite (lim en +∞ de αn/e^n) demandée dans la deuxième partie de la question B.2.b)..
Sinon, pour la question B.3.b), j'a posé f(t)=(1+t).ln(1+t)-t, j'ai ensuite calculé sa dérivée et son minimum f(0)=0, j'ai donc pu prouver l'inégalité 0 ≤ (1+t).ln(1+t)-t.
Mais je ne sais pas comment démontrer la seconde partie de l'inégalité, c'est à dire (1+t).ln(1+t)-t ≤ t²/t ...
Merci par avance!
Sinon, pour la question B.3.b), j'a posé f(t)=(1+t).ln(1+t)-t, j'ai ensuite calculé sa dérivée et son minimum f(0)=0, j'ai donc pu prouver l'inégalité 0 ≤ (1+t).ln(1+t)-t.
Mais je ne sais pas comment démontrer la seconde partie de l'inégalité, c'est à dire (1+t).ln(1+t)-t ≤ t²/t ...
Merci par avance!
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Lucie
Re: Comparaison de suites
FInalement j'ai réussi la question B.3.b), il me manque donc au final la limite de la question B.2.b) que je n'arrive pas à déterminer et je ne sais pas comment prouver proprement la question B.1..
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sos-math(21)
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Re: Comparaison de suites
Bonjour,
ta fonction f est strictement croissante et continue sur l'intervalle \([1,+\infty[\) (je dis cela à peu près, car je n'ai pas fait l'étude de fonction), donc elle définie une bijection de \([1,+\infty[\) vers \([f(1),\lim_{x\to+\infty}f(x)[=[0,+\infty[\). pour tout entier n non nul, on \(n\in[0,+\infty[\), qui est l'intervalle image de \([1,+\infty[\), donc n admet un unique antécédent par f dans cet intervalle : il existe donc un unique \(\alpha_n\), tel que \(f(\alpha_n)=n\).
Pour le B2, on réutilise la relation \(f(\alpha_n)=n\), qui s'écrit : \(\frac{\alpha_n\ln(\alpha_n)}{1+\alpha_n}=n\), en recombinant, on a \(\alpha_n\ln(\alpha_n)=(1+\alpha_n)n=n+\alpha_n\times\,n\) soit en divisant par \(\alpha_n\) : \(\ln(\alpha_n)=\frac{n}{\alpha_n}+n\) et on passe le n de l'autre côté et on l'écrit \(n=\ln(e^n)\), donc \(\ln(\alpha_n)-\ln(e^n)=\frac{n}{\alpha_n}\) donc avec la propriété des logarithmes, on a \(\ln\left(\frac{\alpha_n}{e^n}\right)=\frac{n}{\alpha_n}\).
Ensuite, on a montré que \(\alpha_n\geq\,e^n\), donc on obtient \(\frac{n}{\alpha_n}\leq\frac{n}{e^n}\) donc en reprenant l'égalité, on :
\(\ln\left(\frac{\alpha_n}{e^n}\right)\leq\frac{n}{e^n}\). or le terme de droite tend vers 0 (croissance comparée) donc \(\ln\left(\frac{\alpha_n}{e^n}\right)\) tend vers 0 en \(+\infty\), donc par continuité de l'exponentielle, on a \(\frac{\alpha_n}{e^n}\) qui tend vers 1.
ta fonction f est strictement croissante et continue sur l'intervalle \([1,+\infty[\) (je dis cela à peu près, car je n'ai pas fait l'étude de fonction), donc elle définie une bijection de \([1,+\infty[\) vers \([f(1),\lim_{x\to+\infty}f(x)[=[0,+\infty[\). pour tout entier n non nul, on \(n\in[0,+\infty[\), qui est l'intervalle image de \([1,+\infty[\), donc n admet un unique antécédent par f dans cet intervalle : il existe donc un unique \(\alpha_n\), tel que \(f(\alpha_n)=n\).
Pour le B2, on réutilise la relation \(f(\alpha_n)=n\), qui s'écrit : \(\frac{\alpha_n\ln(\alpha_n)}{1+\alpha_n}=n\), en recombinant, on a \(\alpha_n\ln(\alpha_n)=(1+\alpha_n)n=n+\alpha_n\times\,n\) soit en divisant par \(\alpha_n\) : \(\ln(\alpha_n)=\frac{n}{\alpha_n}+n\) et on passe le n de l'autre côté et on l'écrit \(n=\ln(e^n)\), donc \(\ln(\alpha_n)-\ln(e^n)=\frac{n}{\alpha_n}\) donc avec la propriété des logarithmes, on a \(\ln\left(\frac{\alpha_n}{e^n}\right)=\frac{n}{\alpha_n}\).
Ensuite, on a montré que \(\alpha_n\geq\,e^n\), donc on obtient \(\frac{n}{\alpha_n}\leq\frac{n}{e^n}\) donc en reprenant l'égalité, on :
\(\ln\left(\frac{\alpha_n}{e^n}\right)\leq\frac{n}{e^n}\). or le terme de droite tend vers 0 (croissance comparée) donc \(\ln\left(\frac{\alpha_n}{e^n}\right)\) tend vers 0 en \(+\infty\), donc par continuité de l'exponentielle, on a \(\frac{\alpha_n}{e^n}\) qui tend vers 1.