Bonjour je suis en 1ere et j'ai un DM a rendre sur les dérivés mais je n'arrive pas plusieurs questions mêmes apres plusieurs tentatives... Pouvez vous m'aider ?
Voici l'énoncé :
C est le cercle trigonométrique de centre O et M est le point de C tel que (vecteur OI ; vecteur OM) = x (rad) avec x appartient ] 0 ; TT/2 [ .
T est le point d'intersection de la droite (OM) avec la tangente en I à C.
Les aires du triangle OIM et OIT encadrent l'aire du secteur circulaire OIM.
a) Que vaut l'aire du secteur circulaire OIM.
J'ai trouve x/2 c'est bon
b) A l'aide du théorème de Thalès vérifier que : IT = sin (x) / cos (x)
C'est fait
c) Démontrer successivement que, pour tout x appartient ] 0 ; TT/2 [ :
(1) 1/2 * sin (x) < x/2 < 1/2 * (sin (x) / cos (x))
La j'ai utilisé l'énoncé avec Aire OIM<A secteur OIM<Aire OIT
(2) 1 < ( x / sin (x) ) < 1/ cos (x)
je ne suis pas sure que ce soit vrai j'ai juste dit qu'il falait multiplier l'encadrement par 2 et diviser le tt par sinx est ce suffisant ?
(3) cos (x) < sin (x) / x < 1
J'ai dit que c'tait l'inverse du (2) et je n'en suis pas sure
d) Démontrer que l'encadrement (3) est aussi vrai pour tout x appartient ] -TT/2 ; 0 [
Je n'ai pas réussi cette question ...
e) En déduire que lim x tend vers 0 sin (x) / x = 1
Je pense que cette question va avec la d donc ...
Merci
Gaby
Nombre dérivé sinus en 0
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sos-math(21)
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Re: Nombre dérivé sinus en 0
Bonsoir,
diviser par \(\sin(x)\) est valable à condition de rappeler que \(x\in]0;\frac{\pi}{2}[\), ce qui signifie que \(\sin(x)>0\), donc qu'on peut diviser sans changer le sens et sans tomber dans une opération "interdite" (division par 0).
Inverser un encadrement est valable lorsque cet encadrement est dans \(\mathbb{R}_+^*\) (ou \(\mathbb{R}_-^*\), l'important, c'est d'être sur un intervalle où la fonction inverse \(x\mapsto\frac{1}{x}\) est définie et a un seul sens de variation (décroissant toujours pour l'inverse))
Pour montrer que cet encadrement est vrai sur \(]-\frac{\pi}{2};0[\), on considère \(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\), alors \({-}x\in]0;\frac{\pi}{2}[\) donc on peut appliquer l'encadrement précédent mais avec \({-}x\) !
\(\cos (-x) < \frac{\sin(-x)}{{-}x} < 1\) et sachant que \(\cos(-x)=\cos(x)\) et \(\sin(-x)=-\sin(x)\), les signes - se simplifient dans le quotient et tout est identique au premier encadrement mais avec \(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\).
Terminé ! pour la limite, place-toi en \(0^{-}\), puis en \(0^{+}\) pour avoir \(\lim_{x\to0^{-}}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}=1\)
diviser par \(\sin(x)\) est valable à condition de rappeler que \(x\in]0;\frac{\pi}{2}[\), ce qui signifie que \(\sin(x)>0\), donc qu'on peut diviser sans changer le sens et sans tomber dans une opération "interdite" (division par 0).
Inverser un encadrement est valable lorsque cet encadrement est dans \(\mathbb{R}_+^*\) (ou \(\mathbb{R}_-^*\), l'important, c'est d'être sur un intervalle où la fonction inverse \(x\mapsto\frac{1}{x}\) est définie et a un seul sens de variation (décroissant toujours pour l'inverse))
Pour montrer que cet encadrement est vrai sur \(]-\frac{\pi}{2};0[\), on considère \(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\), alors \({-}x\in]0;\frac{\pi}{2}[\) donc on peut appliquer l'encadrement précédent mais avec \({-}x\) !
\(\cos (-x) < \frac{\sin(-x)}{{-}x} < 1\) et sachant que \(\cos(-x)=\cos(x)\) et \(\sin(-x)=-\sin(x)\), les signes - se simplifient dans le quotient et tout est identique au premier encadrement mais avec \(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\).
Terminé ! pour la limite, place-toi en \(0^{-}\), puis en \(0^{+}\) pour avoir \(\lim_{x\to0^{-}}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}=1\)
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Gaby
Re: Nombre dérivé sinus en 0
Merci beaucoup pour votre aide ! J'ai bien compris le b et le d
Pourriez vous seulement reformuler le e je n'ai pas bien compris
Merci d'avance
Gaby
Pourriez vous seulement reformuler le e je n'ai pas bien compris
Merci d'avance
Gaby
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Gaby
Re: Nombre dérivé sinus en 0
Finalement je pense avoir compris pour le e) faut il dire que selon l'encadrement (3)
on a cos(x)<ou= (sin(x))/(x)< ou = 1
Or lors que x tend vers 0 on a cos(0)=1 pour x appartient ]0;Pi/2[
On a alors 1< ou = (sin(x))/(x) < ou = 1
On peut dire alors que lim x->0 (sin(x))/(x)=1
Est ce cela ou me suis-je tromper ? Merci
on a cos(x)<ou= (sin(x))/(x)< ou = 1
Or lors que x tend vers 0 on a cos(0)=1 pour x appartient ]0;Pi/2[
On a alors 1< ou = (sin(x))/(x) < ou = 1
On peut dire alors que lim x->0 (sin(x))/(x)=1
Est ce cela ou me suis-je tromper ? Merci
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sos-math(21)
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Re: Nombre dérivé sinus en 0
C'est un peu plus précis que cela :
\(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\), alors on a l'encadrement :
\(\cos (x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1\)
donc en passant à la limite quand \(x\to0,x<0\), sachant que \(\lim_{x\to0,x<0}\cos(x)=1\), on a par le théorème des gendarmes (ou d'encadrement),
\(\lim_{x\to0^{-}}\frac{\sin(x)}{x}=1\).
La démarche est la même pour obtenir : \(\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}=1\),
la limite à gauche étant égale à la limite à droite, la limite en 0 existe et vaut 1.
\(x\in]-\frac{\pi}{2};0[\), alors on a l'encadrement :
\(\cos (x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1\)
donc en passant à la limite quand \(x\to0,x<0\), sachant que \(\lim_{x\to0,x<0}\cos(x)=1\), on a par le théorème des gendarmes (ou d'encadrement),
\(\lim_{x\to0^{-}}\frac{\sin(x)}{x}=1\).
La démarche est la même pour obtenir : \(\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)}{x}=1\),
la limite à gauche étant égale à la limite à droite, la limite en 0 existe et vaut 1.
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Gaby
Re: Nombre dérivé sinus en 0
Qu'est ce que le théorème des gendarmes ?
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sos-math(21)
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Re: Nombre dérivé sinus en 0
Tu ne connais pas cela , le théorème d'encadrement ?
si on a trois fonctions f,g,h définies sur un intervalle ]a,b[ telles que \(g(x)\leq\,f(x)\leq\,h(x)\) pour tout x de ]a,b[
Pour un nombre c dans ]a,b[, si on a \(\lim_{x\to\,c}g(x)=\lim_{x\to\,c}h(x)=d\), alors \(\lim_{x\to\,c}f(x)=d\), f est coincé entre deux gendarmes donc f n'a pas d'autres choix que de suivre g et h vers la même limite.
C'est ça le théorème des gendarmes.
si on a trois fonctions f,g,h définies sur un intervalle ]a,b[ telles que \(g(x)\leq\,f(x)\leq\,h(x)\) pour tout x de ]a,b[
Pour un nombre c dans ]a,b[, si on a \(\lim_{x\to\,c}g(x)=\lim_{x\to\,c}h(x)=d\), alors \(\lim_{x\to\,c}f(x)=d\), f est coincé entre deux gendarmes donc f n'a pas d'autres choix que de suivre g et h vers la même limite.
C'est ça le théorème des gendarmes.
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Gaby
Re: Nombre dérivé sinus en 0
Non je n'ai jamais appris ce théorème ... Merci de me l'avoir appris
Si je ne l'ai jamais fait est ce la solution attendu par mon professeur ou y a t'il un autre moyen ?
Si je ne l'ai jamais fait est ce la solution attendu par mon professeur ou y a t'il un autre moyen ?
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sos-math(21)
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Re: Nombre dérivé sinus en 0
Je pense que c'est la solution attendue, même si le théorème des gendarmes n'est pas connu.
Bon courage
Bon courage
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Gaby
Re: Nombre dérivé sinus en 0
D'accord merci beaucoup pour votre aide, cela m'a beaucoup aidée !
Gaby
Gaby
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sos-math(20)
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Re: Nombre dérivé sinus en 0
A bientôt sur SOS-math Gaby.