Probleme : derivation

Invité · Message par **Invité** » sam. 13 oct. 2007 21:24

Bonsoir !

J'ai un exercice à résoudre dont l'énoncé est le suivant:
Une route longe une plage de sable : une personne est en un point A et doit rejoindre le plus rapidement possible le point B . Il sait que B est situé à 0.5km de la route et que la distance de A au projeté orthogonal de B sur la route est égale à 1km. Il sait enfin que sa vitesse moyenne de course sur la route est égale à 12.5km.h et que sa vitesse moyenne de course dans le sable est égale à 7.5km.h
Déterminer à quelle distance du point A le jeune homme doit quitter la route pour que son temps total de course soit le plus petit possible : l'étude de la fonction f definie sur R par

f(x) = (x/12.5) + [(racine de (1-x)²+0.5²)/7.5] pourra être utile.

Je pense donc qu'il faut calculer la derivéé de cette fonction pour ensuite étudier les variations et je trouve donc f'(x) = 12.5(x-1) Mais je ne suis vraiment pas certaine de mon résultat.
Si quelqu'un pouvait me venir en aide , je vous remercie !!

SoS-Math(4) · Message par **SoS-Math(4)** » sam. 13 oct. 2007 22:56

bonsoir,

L'idée de calculer la dérivée de f est une bonne idée pour trouver le minimum de f.
Cependant l'énoncé vous demande d'abord d'établir la formule qu'il donne dans l'énoncé.
Faites donc un dessin, et en fonction de x , calculer le temps que le piéton marche sur la route et le temps qu'il marche sur le sable. Ensuite faites la somme, vous devez trouver f(x).
Je rappelle que t=distance /vitesse

D'autre part le calculde votre dérivée est faux.
Reprenez le . Rappelez vous que la dérivée de k.u ou k est un réel et u une fonction est k.u'. Puis chercher la dérivée de racine(u) dans votre cours.
Envoyez moi vos réponses.
sosmaths

Invité · Message par **Invité** » dim. 14 oct. 2007 20:08

Bonsoir,
J'ai beau esseyé de faire comme vous me dite , je n'arrive pas à trouver le temps qu'il court sur la route et sur le sable..
Si vous pouviez m'aider parce que la je bloque vraiment , je vous remercie beaucoup !

SoS-Math(4) · Message par **SoS-Math(4)** » dim. 14 oct. 2007 20:30

Bonsoir,

On va appeler H le projeté orthogonal de B sur la route.
Ainsi, d'après l'énoncé on a le triangle AHB, rectangle en H, avec HB=0.5 et AB=1.
Pouraller de A en B, lapersonne va marcher sur la route puis va quitter le segment [AH] en un point K, pour se diriger vers B en ligne droite à travers le sable.

Si AK=x, alors la durée de la marche sur la route est t1= x/12.5
Ensuite il lui reste le segment [KB] à parcourir, dont vous pouvez calculer la longueur en fonction de x grace au théorème de pythagore.
Connaissant la vitesse de marche dans le sable vous pouvez calculer le temps t2 pour parcourir KB.
Je vous laisse terminer.
Bon courage
Sosmaths

Invité · Message par **Invité** » dim. 14 oct. 2007 21:42

Rebonsoir ,

Don finalement à l'aide du théoreme de pythagore on trouve bien
t2 = (racine de (1-x)²+0.5²/7.5
Je vous remercie de votre explication , j'arrive enfin à me visualiser la scene :)
Maintenant c'est la dérivée qui pose probleme: j'orai bien tout décomposé à savoir : je calcule d'abord la dérivé de x/12.5. Puis ensuite t2 donc , où je serai tenté de dérivé dans un premier temps (1-x)² pour ensuite trouvé la derivé avec la racine et j'orai pu donc faire ensuite u/v
Faut-il procéder ainsi? je vous remercie de vos conseils :)

SoS-Math(6) · Message par **SoS-Math(6)** » lun. 15 oct. 2007 13:08

Bonjour,

Vous avez maintenant \(t_1(x)=\frac{x}{12,5}\) et \(t_2(x)=\frac{\sqrt{(1-x)^2+0,5^2}}{7,5}\)
Dérivez alors t1 et t2 chacun de leurs côtés et additionnez leurs dérivées.

Pour la dérivée de t1, utilisez la formule de la dérivée de rac(u(x)). Attention au signe, la dérivée de (1-x)² est \(-2(1-x)\)

Bon courage

Invité · Message par **Invité** » lun. 15 oct. 2007 18:10

Bonjour ,

Petite question de passage : est-ce que la dérivée de racine(1-x)²+0.5² est : 1/2racine[-2(x-1)] ?
Je vous remercie :)

SoS-Math(4) · Message par **SoS-Math(4)** » lun. 15 oct. 2007 18:47

bonsoir,

la dérivée que vous avez calculée est fausse.

Je rappelle la formule suivante à connaitre par coeur et à savoir utiliser.\((\sqrt{u(x)})'= \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)

Appliquer cette formule et relisez aussi la réponse précédente.

SOSMATHS

Invité · Message par **Invité** » lun. 15 oct. 2007 20:12

Re bonsoir ,

merci de votre conseil :) je fais le calcul et je vous fait parvenir mon resultat, en esperant que cette fois ce serat le bon !!

Invité · Message par **Invité** » lun. 15 oct. 2007 20:27

Cela me donne :

f'(x) = 1/12.5 + [ -2(1-x) / 15racine de (1-x)² + 0.5 ²

Est-ce le bon resultat? même s'il n'est pas tout à fait terminer
Merci beaucoup !!

Invité · Message par **Invité** » lun. 15 oct. 2007 20:36

Rebonsoir !

en développant l'expression je trouve f'(x) = -4(x-1)²/ 2(1-x)
Si vous pouviez me donner votre avis :)
Merci d'avance !!

SoS-Math(4) · Message par **SoS-Math(4)** » lun. 15 oct. 2007 21:02

Le résultat que vous avez trouvé dans la message précédent me semble juste.
Cependant, le dernier résultat me semble douteux. Comment avez vous fait ? ou est passée la racine carrée ?
Pouvez vous donner quelques étapes du calcul ?
merci
SOSmath

Invité · Message par **Invité** » lun. 15 oct. 2007 21:20

Je trouve:

f'(x) = 15racine[(1-x)²+0.5²] - 2(1-x)*12.5 / 15[racine(1-x)²+0.5²]*12.5
= 15racine[(1-x)²+0.5²] - 2(1-x) / 15racine[(1-x)²0.5²]
= 15racine[(1-x)²+0.5²]-2(1-x) / 15racine[(1-x)²+0.5² * 15racine(1-x)²+0.5²]+2(1-x) / 15racine[(1-x)²+0.5²]+2(1-x)
= 15² ( 1-x)²+0.5²-4(1-x)² / 15² (1-x)² +0.5² + 2(1-x)
= 225(1-x)² + 0.5² - 4(1-x)² / 225 (1-x)²+0.5²+2(1-x)
= -4(x-1)² / 2(1-x)

SoS-Math(4) · Message par **SoS-Math(4)** » lun. 15 oct. 2007 22:16

A la ligne 2 de votre calcul, vous avez simplifié par 12,5. Or 12,5 n'est pas en facteur au numérateur, donc vous ne pouvez pas simplifier.
Mais vous pouvez mettre 12,5 en facteur au numérateur en remplaçant d'abord 15 par 12,5x1,2.
La méthode utilisée pour le reste de votre calcul est bonne.
A revoir donc.
sosmaths

Invité · Message par **Invité** » mer. 17 oct. 2007 20:21

Bonsoir

En effet mon calcul n'était pas vraiment bon ... ^^ j'ai tout de même fini par trouvé la bonne dérivé , je vous remercie encore une fois pour vos conseil qui m'ont vraiment aidé :)
Bonne continuation