Etude de fonctions et de suites

[Lucas]

Bonjour,

j'aurais SVP besoin de votre aide car je suis bloquée dans différentes étapes de la résolution de l'exercice ci-dessous....

Tout d'abord, je n'arrive pas à résoudre les Formes Indéterminées en +∞ de f(x) et de g(x) pour compléter mon tableau de variation de la question 1.

En effet, lim[x->+∞] x - e^x est une FI du type +∞-∞ et je n'arrive pas à lever l'indétermination... Idem pour lim[x->+∞] (1-x)*e^x qui est une FI du type ∞*∞.


J'ai réussi le reste de la partie A, par contre, je ne comprends pas du tout la partie B.. Je ne comprends même pas comment répondre à la première question à l'aide de la calculatrice...



J'espère que vous pourrez me venir en aide.

Merci d'avance!

[sos-math(21)]

Bonjour,
juste pour les limites en \(+\infty\), dès qu'on a une forme indéterminée du type \(\infty-\infty\), il faut chercher à factoriser :
\(f(x)=x-e^x=x\left(1-\frac{e^x}{x}\right)\) le terme \(\frac{e^x}{x}\) tu dois connaitre comment il évolue (croissance comparée).
Pour la deuxième fonction je veux juste te dire que \(\infty\times\,\infty\) n'est pas une forme indéterminée, donc la limite est facile.

[Lucas]

Merci beaucoup j'ai réussi toute la partie A, par contre, je ne comprends toujours pas commment faire la 1. du B.
Faut-il calculer les termes de la suite Sn jusqu'à ce que le passage à n+1 ne fasse varier le terme que de moins de 10^-3?
Cette technique ne me semble pas très pratique..

Pour la question 2.c), je ne suis pas sûre du tout de mon résultat,
J'ai raisonné comme ceci :

Sn = 1 + 1/2 + ... + 1/(n-1) + 1/n - ln(n)
Sn-1 = 1 + 1/2 + ... + 1/(n-1) - ln(n-1)

Donc :
Sn - Sn-1 = 1/n - ln(n) + ln(n-1)

Ce résultat est-il correct? Car je ne suis pas sûre de mes ln. Donc pour la suite je présume qu'il faut prouver que le terme obtenu est négatif, raison pour laquelle (Sn) est décroissante.



Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour le calcul à la calculatrice, c'est un test pour savoir à partir de quel rang, la suite est inférieure à \(10^{-3}\) donc il faut y aller "à la main"...
Pour la différence entre les deux termes consécutifs, c'est bon, il reste ensuite à exploiter l'inégalité précédente pour obtenir que cette différence est négative (tu me sembles bien parti).
Bon courage

[Lucas]

Merci pour votre aide!

J'ai réussi a prouver que la suite était décroissante mais je n'arrive toujours pas à trouver le résultat pour la question à la calculatrice (B.1)..

En effet, j'ai "tatônné" jusqu'a n=20, et le résultat est environ égal à 0,602007, ce qui est très loin du terme pour lequel "la suite est inférieure à 10^-3". Je ne sais pas si je n'ai pas bien compris vos explications ou si j'ai fait une erreur de calcul mais je ne comprends vraiment pas...


Je suis aussi bloquée pour la deuxième partie de la question 3.d) ou il faut mener un raisonnement par récurrence.
J'ai réussi a faire l'initialisation mais je suis bloquée pour prouver l'hérédité.
J'ai en effet supposé que ln((k+1)/21) < 1/21+...+1/k
Mais je n'arrive pas a prouver que ln((k+2)/21) < 1/21+...+1/k+1/(k+1)

Pourriez vous me venir en aide?


Merci par avance!

[sos-math(21)]

Oui, pardon, je me suis mal exprimé
il faut que tu trouves le rang pour lequel le calcul ne varie plus que dans les dix-millièmes d'un rang au suivant (c'est-à-dire le rang des millièmes est stabilisé) :
tu dois trouver \(0,577<\gamma<0,578\) : j'ai trouvé dans les n=700 (très grossièrement), avec un logiciel de calcul formel.
Est-ce que tu as utilisé un tel logiciel en classe ?
Peut-être que cela se programme ? Je ne sais pas , je n'enseigne pas en lycée...

[Lucas]

Ah effectivement j'aurais pu continuer longtemps en tapant mon calcul...

Nous n'utilisons pas de logiciels de mathématiques pour l'instant mis à part pour étudier la géométrie, le volumique..

Et je ne sais pas du tout comment je pourrais programmer ça sur ma calculatrice. En classe, elle nous est formellement interdite par notre professeur donc à nous de nous débrouiller mais là même avec un mode d'emploie je ne vois pas trop comment faire...
Je verrais quand nous rendrons notre DM si je n'ai pas trouvé d'ici là... Merci tout de même!

Pour la question e), j'ai réussi a prouver que :
Un< ln(n/20) - ln((n+1)/21)
Mais comment passer de cette relation à :
Un< ln(21/20) - ln((n+1)/n) ?

Merci!

[sos-math(21)]

Je te rappelle seulement une propriété essentielle du logarithme : \(\ln\left(\frac{n}{20}\right)=\ln(n)-\ln(20)\), tu fais cela deux fois et tu recombines !

[Lucas]

Je n'avais pas pensé à ça. J'ai enfin finit cet exercice!
Merci beaucoup!!

[sos-math(21)]

Tant mieux !
Bon courage