détermination d'ensemble

[juliette]

Je bloque complétement pour cet exercice :S

Les points A et B ont pour coordonnées respectives (2;1 et (-1;4). Pour tout point M de coordonnées (x;y), on pose h(M)=2MA²+MB²

1) Démontrez que h(M)=3(x²+y²-2x-4y+9)
2) On note Sk l'ensemble des points M tels que h(M)=k, où k est un réel donné.
a Démontrez que S27 est un cercle dont vous préciserez le centre et le rayon
b Démontrez que S12 est réduit à un point dont bous préciserez les coordonnées.
c Démontrez que S9 est l'ensemble vide

3) Plus généralement, démontrez que
si k<12, Sk est l'ensemble vide
si k>12, Sk est un cercle dont vous préciserez le rayon en fonction de k et les coordonnées du centre.

[SoS-Math(2)]

Bonjour
commençons par la première:
\(MA^2=(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2=(2-x)^2+(1-y)^2= ....\)
Faites de même pour MB²

Pour les questions suivantes, utilisez le résultats de la question 1
M appartient à S27 ssi 3(x²+y²-2x-4y+9)=27
ssi x²+y²-2x-4y+9 = 9
ssi .....
A vous de montrer que vous obtenez l'équation d'un cercle

Bon courage pour la suite

[juliette]

Lorsque je fais:
2(2-x)²+(1-y)²=2(-1-x)²+(4-y)²
j'obtiens comme résultat -4x+8y-9=0

je ne comprends pas!

[SoS-Math(9)]

Juliette,

Quelles valeurs as-tu trouvé pour Ma² et MB² ?

SoSMath.

[juliette]

ah c'est bon j'ai compris mon erreur! merci!
par contre pour le 3 je ne sais pas comment il faut faire! :/

[SoS-Math(9)]

Bonjour Juliette,

Pour le 3), il faut écrire h(M)= k sous la forme a(x-x0)² + b(y-y0)² + c-k = 0 où il faut déterminer a, b, c, x0 et y0.

SoSMath.

[juliette]

euh... c'est à dire??
pourquoi faut il mettre sous cette forme et d'où sortent a, b et c???
en plus il faut faire quand k<12 et k>12

[juliette]

et pourquoi soustraire k ???

[SoS-Math(9)]

Juliette,

La question 3 est une généralisation des exemples vus à la question 2 ....
D'où l'idée de faire apparaître l'équation d'un cercle (quand il existe) : a(x-x0)² + b(y-y0)² + c-k = 0

Je t'aide pour le début :
h(M) = k
3(x²+y²-2x-4y+9) = k
3(x² - 2x + y² - 4y + 9) - k = 0
3( (x-1)² - 1 + y² - 4y + 9) - k = 0 j'ai utlisé la forme canonique de x²-2x.
3( (x-1)² + y² - 4y + 8) - k = 0
.... ici utilise la forme canonique de y²-4y.

SoSMath.

[juliette]

j'obtiens:
3[ (x-1)²+(y-2)²) ] -k=0
(x-1)²+(y-2)²=k/3

et après comment faut il faire?^^

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
votre résultat n'est pas correct.
3( (x-1)² + y² - 4y + 8) - k = 0

3[ (x-1)² + y² - 4y +4+4] - k = 0
3[ (x-1)² + (y-2)²+4] - k = 0
(x-1)²+(y-2)²=k/3-4

Pour que cette égalité soit vraie, il faut que k/3-4 soit positif...
A vous de continuer.

[juliette]

k/3 -4 > 0
k>12
donc si k>12 alors S est un cercle de centtre M(1,2) et de rayon racine carrée de k/3 +4
c'est ça??
mais après pour k<12 comment prouve t on que c'est un ensemble vide?

[SoS-Math(2)]

Bonjour Juliette,
votre raisonnement est juste

Dans le deuxième cas, k<12 quand k/3-4 est négatif.
Donc la question est : Existe-t-il des réels x et y tels que (x-1)²+(y-2)² soit négatif ?

A bientôt

[juliette]

non car la somme de 2 positifs est toujours négative!
donc si k/3-4<0 soit k <12 alors Sk est l'ensemble vide car le rayon de peut être négatif!

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te cite

non car la somme de 2 positifs est toujours négative!
donc si k/3-4<0 soit k <12 alors Sk est l'ensemble vide car le rayon de peut être négatif!

soit on dit qu'une somme de deux positifs est toujours positive soit on dit qu'elle n'est jamais négative.
En revanche, je suis d'accord avec ta conclusion.
Bon courage