nombres complexes

[morgane]

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour la suite d'une question, voici l'énoncé:
A tout complexe z, on associe le complexe z' = (z-2i)/(z-1-i).
Soit ( E ) l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur.
Montrer que B appartient à ( E ).
Déterminer et construire l'ensemble ( E ).

J'ai réussit à montrer que B appartenait à ( E ); mais je n'arrive pas à continuer.

P.S: zB=2i
zA=1+i

Pourriez-vous m'aider à faire la deuxième partie.
Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Morgane,

Pour trouver l'ensemble (E), il y a plusieurs méthodes ....

z' est un imaginaire pure
<=> Partie réelle de z' = 0 (méthode 1)
<=> argument de z' = +ou- pi/2 (méthode 2)

Je te conseille la méthode 2, elle est plus courte ...

SoSMath.

[morgane]

En réalité, j'avais essayé en remplaçant z' et z par leur forme algébrique; mais je suis coincée.
Pourriez-vous m'expliquer comment continuer.
Merci.

[SoS-Math(9)]

Morgane,

Si j'ai bien compris, tu as essayé la méthdoe 1 ....

Revenons à la méthode 2 :
arg(z') = +ou-pi/2
<=> \(arg(\frac{z-2i}{z-1-i})=+ou-\frac{\pi}{2}\)

<=> \(arg(\frac{z-z_B}{z-z_A})=+ou-\frac{\pi}{2}\)

<=> ...

Pour terminer, regarde dans ton cours tu dois y trouver une propriété avec \(arg(\frac{z-z_B}{z-z_A})\)

SoSMath.

[morgane]

Mais comment puis-je savoir si l'angle est de pi/2 ou -pi/2 ?

[SoS-Math(9)]

Morgane,

Ce qui caractérise un imagunaire pur, c'est que son argument est égal à \(\frac{\pi}{2}\) ou \(-\frac{\pi}{2}\).

As-tu retrouvé la propriété demandée ?

SoSMath.

[morgane]

oui, je l'aie trouvé.
mais je ne vois pas si c'est pi/2 ou -pi/2.

[SoS-Math(9)]

Morgane,

Cela veut dire que tu as deux soutions ....

\(arg(\frac{z-z_B}{z-z_A})=\frac{\pi}{2}\) ou \(arg(\frac{z-z_B}{z-z_A})=-\frac{\pi}{2}\).

SoSMath.

[morgane]

ha d'accord !!
et maintenant, on me demande:

Soit ( F ) l'ensemble des points M d'affixe z tels que module de z' = 1.
Déterminer et construire l'ensemble ( F).

J'ai essayé d'utiliser la forme algébrique de z', mais ça ne mène à rien.
Comment puis-je faire ?

Merci.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on a \(|z^{,}|=1\) équivalent à \(\frac{|z-2i|}{|z-1-i|}=1\) soit \(|z-2i|=|z-1-i|\) soi en élevant au carré (c'est là la ruse)
\(|z-2i|^2=|z-1-i|^2\) et la tu prends \(z=x+iy\) et tu remplaces ..., cela te donne une équation d'un ensemble connu.

[morgane]

j'obtiens alors:
module de x+iy au carré= module de x+iy-1-i au carré

mais je ne vois pas comment déterminer ( F ).

[SoS-Math(2)]

Bonsoir
|x+iy|²= |x+iy-1-i|²
x²+y²= |(x-1)+(y-1)i|²
x²+y² = ..........

A vous de continuer.

[morgane]

j'obtiens une droite d'équation: y=1+x.
C'est ça ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Morgane,

En effet c'est cela !
Il y avait une autre méthode ...

|z'| = 1 <=> |z-zB| = |z-zA| <=> MB = MA <=> M appartient à la médiatrice de [AB]
Donc ton ensemble est la médiatrice de [AB].

SoSMath.

[morgane]

et maintenant, il reste une dernière question:
Soit ( G ) l'ensemble des points M d'affixe z tels que M différent de B et arg( z' )= pi/2 [pi].
Déterminer et construire cet ensemble.

Mais on ne l'a pas déjà fait avant ?