Volume

[Eric]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire sur les volumes pour la rentrée mais je ne comprend pas trop comment faire.
Je dois :
1) Calculer le volume d'une boule de centre O et de rayon R.
2) Calculer le volume de la pyramide régulière à bas carrée de côté a et de hauteur h.

Merci d'avance si vous pouvez me donner quelques pistes de recherches.
Bonne soirée.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Eric,

Pour calculer le volume d'une boule, on utilise la formule \(\frac{4}{3}\pi~R^3\).

Pour calculer le volume d'une pyramide régulière, on utilise la formule \(\frac{a^2\times~h}{3}\).

A bientôt.

[Eric]

Bonjour.
Merci de m'avoir répondu.
Voici ce que je propose:
1) On va ici calculer le volume d'une demi sphère.
On note R le rayon de la sphère, h la hauteur et r le rayon du disque.
Le volume d'un disque est = \(\pi\) r²
Donc l'aire d'intersection de la boule et du plan z=h est :
\(\pi\) r² = \(\pi\)(R²-h²)

or S: [0;R] -> R(ensemble des réels ici)
h-> \(\pi\) (R²-h²) est continue.
Donc le volume de la boule de hauteur h et de rayon R est:
\([tex]\)\int_{0}^{R}\(\pi\)(R^2-h^2)dh[/tex]= \(\pi\)\(\int_{0}^{R}(R^2-h^2)dh\)
= \(\pi\) [R^2h -(h^3)/3] (de 0 à R)
= \(\pi\) (R^3 - (R^3)/3)
= 2/3 \(\pi\) R^3
En multipliant par deux on obtient ce qu'il faut.

2) Pour celle-ci j'ai plus de mal car je ne suis pas trop callé au niveau des formules.
On note A l'aire de la base, A' l'autre aire, h la hauteur de la pyramide et h-t la hauteur qui correspond à celle de l'autre aire.
D'après le théorème de Thalès:
(h-t)²/h² = A'/A donc A'=(A(h-t)²)/h²
Donc l'aire d'intersection de la pyramide et du plan z=t est :
(ici je n'ai pas vraiment réussi à trouver)
or S: [0;h] ->R(ensemble des réels)
t->(A/h²)(h-t)² est continue.
Donc le volume de la pyramide de hauteur h et de base carrée de côté a est :
\(\int_{0}^{h}(A/h^2) (h-t)^2dt\)= A/h² \(\int_{0}^{h}(h^2-2ht+t^2)dt\)
=A/h² [h^2t+(t^3)/3 -ht^2] (de 0 à h)
= A/h² (h^3 +(h^3)/3 -h^3)
= (A/h²) x (h^3)/3
= (a²x h) /3
Pensez vous que cela est juste?
Avez vous une idée quant à mon petit souci dans le deuxième exercice?

Merci d'avance et bonne journée.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
ce que vous avez fait est correct.
Une remarque
pourquoi dans le 2) ne pas dire tout de suite que A=a²

D'après le théorème de Thalès:
(h-t)²/h² = A'/A donc A'=(A(h-t)²)/h²
Donc l'aire d'intersection de la pyramide et du plan z=t est :

Vous avez trouvé A' puisque vous la donnez dans la ligne précédente : A'=(A(h-t)²)/h²
donc A'\(=\frac{a^2}{h^2}\times (h-t)^2\)

Vos calculs sont corrects.
A bientôt sur SoS-Math