Trigonométrie et pentagone régulier

[Eloise]

Bonjour,

J'ai réussi à répondre à toutes les questions de cet exercice sauf la dernière 3. b)..
Voici l'énoncé :
bonjour j'ai un exercice où i me manque quelques réponses a mes questions mais voici l'énoncé entier:
C est un cercle de centre O et de rayon r, [OA] et [OA'] sont deux rayons perpendiculaires.Le point P est tel que 4OP=-OA et H est le milieu de [OA'].C' est le cercle de centre P passant par H.Il coupe le droite (OA) en I et J. Le tangentes en I et J a C' coupent C en B,C,D,E.

1.a)Calculer PH en fonction de r
j'ai trouvé 3/4r
b)Déduisez en que OI=r/4(racine 5 - 1) et OJ=r/4(racine 5 + 1).

2.On note alpha,beta,gamma les mesures respectives en radians des angles AOB,AOC et JOC.
a)Pourquoi OA.OB=OI.OA?Déduisez en que cos alpha=(racine 5 - 1)/4.
b)Pourquoi OA.OC=OJ.OA?Déduisez en que cos beta=-(racine 5 - 1)/4.
c)Démontrez que cos gamma=(racine 5 + 1)/4.

3.a)A l'aide des formules de duplication,démontrez que:
cos 2alpha=cos beta et cos 2gamma=cos alpha.
b)Déduisez en que 5alpha=2pi ( avec 0<alpha<pi) et que ABCDE est un pentagone régulier.Donnez alors un procédé de construction d'un pentagone régulier.
Pourriez vous m'aider à démontrer que 5alpha=2pi ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Eloïse,

Je pense que tu as fais deux erreurs, PH n'est pas égal à \(\frac{3}{4}r\), ensuite je pense que \(cos(\beta)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\).

Ensuite tu as OAB qui vaut alpha, DOA = OAC = 2alpha d'après la question 2a et JOC = 1/2alpha d'après la question 2b d'où en additionnant tous les angles tu as bien en tout 5 alpha = 2pi.

Bonne continuation