"Raisonnement par récurrence" Exo bac !

[Justin]

Bonjour, en classe de terminale S, notre professeur nous a donné un exercice intéressant, mais difficile. Je recherche des aides.
Je vous énonce le sujet:


" Le maître d'école s'appelait Büttner et il aimait rosser ses élèves. Il feignait d'être sévère et ascétique, et, en quelques rares occasions, l'expression de son visage révélait le plaisir qu'il prenait à les rouer de coups. Ce qu'il aimait par dessus tout, c'était leur donner des problèmes qui demandaient beaucoup de temps et qui étaient malgré tout presque impossibles à résoudre sans faire d'erreur, si bien qu'à la fin, il avait une raison valable pour sortir le bâton. Cela se passait dans le quartier le plus pauvre de Brunswick, aucun de ces enfants n'irait jamais à l'école secondaire, personne ici ne travaillerait autrement qu'avec ses mains. Gauss savait que Büttner ne pouvait pas le souffrir. Il avait beau se taire et répondre aussi lentement que les autres, il percevait la méfiance du maître, il sentait que ce dernier n'attendait qu'une occasion de le frapper un peu plus fort que le reste du groupe.
Et un beau jour, il lui fournit une occasion.
Büttner leur avait demandé d'additionner tous les nombres de un à cent. Cela prendrait des heures, et même avec la meilleure volonté du monde, ce n'était pas possible sans faire à un moment ou à un autre une erreur de calcul, pour laquelle on pouvait alors être puni. Au travail, avait crié Büttner, qu'ils ne restent pas là à bailler aux corneilles, au travail, et plus vite que ça ! Par la suite, Gauss fut incapable de dire si, ce jour-là, il était plus fatigué que d'habitude, ou seulement étourdi. Toujours est-il qu'il n'avait pas réussi à se contrôler et qu'au bout de trois minutes, il s'était retrouvé devant le pupitre du maître, avec son ardoise sur laquelle ne figurait qu'une seule et unique ligne.
Bon, dit Büttner, et il saisit le bâton. Son regard tomba sur le résultat et sa main se figea. Qu'est-ce que c'est que ça ?
Cinq mille cinquante.
Quoi ? Gauss resta sans voix, il se racla la gorge, il transpirait. Il ne souhaitait qu'une chose, être encore assis à sa place et calculer comme les autres qui, la tête penchée, faisaient mine de ne pas écouter. C'était pourtant bien cela qu'il fallait faire, dit-il, additionner tous les nombres de un à cent. Cent plus un faisaient cent un. Quatre-vingt dix-neuf plus deux faisaient cent un. Quatre-vingt dix-huit plus trois faisaient cent un. Toujours cent un. On pouvait répéter l'opération cinquante fois. Donc : cinquante fois cent un. "

1-La somme des n premiers entiers est S1=1+2+3+...+n=? . Démontrez-le par récurrence.

2-Calculer les sommes U1=1^3, U2=1^3+2^3, U3==1^3+2^3+3^3,..., U10=1^3+2^3+...10^3.

3-Conjecturer une formule pour Un. Démontrer la formule conjecturée par récurrence.

4-On appelle S'n la somme S'n=1x2x+2x3+3x4...+n(n+1).
a-Montrer par récurrence que pour tout n on a S'n=[ n(n+1)(n+2) ] / 3

b- On admettra que S'n= ( ∑ (somme) de k pour k de 1 k=1 à n ) + ( ∑ de k² pour k de 1 k=1 à n ). Deduire des résultat précédent la valeur de ( ∑ de k² pour k de 1 k=1 à n) en fonction de n .

5-Montrer par récurrence que ( ∑ de k(k+1)(k+2) pour k de 1 k=1 à n )= [ n(n+1)(n+2)(n+3) ] / 4

6-On cherche à généraliser les résultats précédents : p désigne un entier supérieur à 1, et on définit la somme :
S(n,p)=1x2x...xp+2x3x...x(p+1)+3x4x..x(p+2)+...+n(n+1)...(n+p-1).
Montrer par récurrence sur n (p supposé fixé) que S(n,p)= [n(n+1)(n+2)..(n+p) ] / p+1




&Voilà, bon courage a vous aussi !

[SoS-Math(11)]

Bonjour Justin,

Mon problème est de savoir exactement ce qui te bloque, qu'as-tu réussir à faire ?
Je pense qu'il y a des parties faciles (pb posés dès le collège) et d'autres très ardues, où commence tes difficultés ?

A bientôt sur le forum