encadrement

[Gilles]

Bonsoir,
je suis sur le chapitre des intégrales et il y a un exercice où je bloque dès la premiere question.
1°)A partir d'un encadrement -1<(ou égal)cos t<(ou égal)1,
valable pour tout réel t, montrer que pour tout x>(ou égal)0:
-x<(ou égal) sin x<(ou égal) x

2) Justifier qu'il en découle, pour tout x>(ou égal) 0:
-(1/2) x²<(ou égal) 1-cos x<(ou égal) (1/2) x, puis x-(1/6) x^3<(ou égal) sin x <(ou égal) x.

1- Pour la 1°, il faut surement intégrer ,
la primitive de -1 est -x, celle de cos x est sin x et celle de 1 c'est x. Mais comment dois-je rédiger et est-ce correct car l'énoncer est avec des t comme variable.

2) Je ne vois pas trop peut etre utiliser cos²x+sin²x=1.

Merci d'avance pour un peu d'aide car je sèche completement sur cet exo.
Bonne journée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Gilles,

Pour le 1) ta proposition d'utiliser une intégrale semble correcte, tu intègres cos(t) de -x à 0 puis cos(t) de 0 à x ce qui te donne sin(x) -sin(0) = sin(x) dans les deux cas et si tu intègres 1 tu obtiens x.

Pour la seconde question : tu donnes "1-cos x<(ou égal) (1/2) x", or pour x = pi/2 : 1-cos(x)= 1 et x/2 = pi/4 qui n'est pas supérieur à 1, cela me semble surprenant.
Sinon tu intègres aussi pour avoir x²/2 puis x^3/6.

A bientôt sur le forum

[Gilles]

En effet c'était (1/2)x².
J'ai bien compris le principe cependant pour la fin je ne trouve pas ce qu'on me demande:
Une primitive de (-1/2)x² est -x^3/6
Une primitive de 1-cos x est x-sin x
Une primitive de (1/2) x² est x^3/6

Au final je trouve (-x^3)/6 +x <(ou égal) sin x<(ou égal) x+ (x^3)/6
Je ne trouve donc pas x pour la derniere inégalité.
Me serais je trompé?
Merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tu peux reprendre l'inégalité de la question 1 où tu as démontré que \({-x}\leq{sin(x)}\leq{x}\) et utiliser la seconde partie de cette inégalité.

Bonne continuation