Inversion complexe

[Anne Ts]

Bonjours,
on a l' exercice :
Appelons f la transformation qui a tout point M d'affice z (different d 0) on associe le point M' d'affixe z' tel que z'=1/\(\overline{z}\)
On a le cercle de centre O et de rayon 1 est l'ensemble des points invariants de f
et vecteur{OM'}=1/(OM^2) vecteur{OM} et O,M,et M' alignés.
De plus,on M un point exterieur du cercle et T un des ppoints du cercle tel que (MT) soit une tangante de c.
1)On doit prouver que (oM) et (M'T) sont perpendiculaires
2)on trouve que si M a pour image M' ,alors M' a pour image M donc on doit en deduire la construction de l'image de M lorsque M est a l'interieur du cercle
3)Examinez les images des deux ensembles suivants :
a- le cercle R de centre A d'affixe i et de rayon 1 ,privé de O
b-le cercle S de centre A d'affixe i et de rayon \(\sqrt{2}\)
4)on considere que M est un point mobile sur R et son inverse M' et de meme pour S
a-prouver que M appartient a R equivaut a z\(\overline{z}\) -i \(\overline{z}\) +iz=0
b-demontrer que R' est l'ensemble des points M' tels que : 1-i\(\overline {z}\)' +iz'=0
c-en posant z'=x'+iy' prouver que cette relation s'ecrit y=1/2 ( moi j'arrive a 2y'=0)
merci.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Anne,

A la fin je trouve y' = 1/2 pas y = 1/2 : la relation donne 1-ix'-y'+ix'-y'=0 d'où mon résultat.

Bonne continuation

[anne]

Pourtant dans l'exercice on doit prouver que y=1/2 .
mais comment montrer que les doites (OM) ET (M'T) sont perpendiculaires?
et je ne comprend pas la question 3

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Cela me semble absurde que ce soit y =1/2, si z est sur le cercle S et si y = 1/2 alors M ne varie pas sur S, il est fixé soit sur M1 ou M2 points d'intersections du cercle S et du cercle de centre O et de rayon 1.
Par contre y'=1/2 correspond bien à l'équation de la droite qui est l'image du cercle S, à savoir la droite (M1M2).

Je regarde le début, je croyais qu'il n'y avait que la question 4c qui posait problème.

A bientôt sur le forum

[anne]

est ce qu'il y'a d'autres problemes dans cet exercice?

[SoS-Math(11)]

Voici une aide pour la question 1)

Pour démontrer que M'T et MM' sont perpendiculaire, je te propose une méthode analytique :
Au début il faut savoir que le rayon (OT) et (MT) sont perpendiculaires.
Commence par exprimer\(x^,\) et \(y^,\) en fonction de \(x\) et \(y\)
On pose \(T(a,b\)) et \(M(x,y)\) d'où \(\vec{OM}:(x;y)\) et \(\vec{TM}:(a-x;b-y)\) tu en tires le relation \(ax+by=1\) en utilisant le produit scalaire qui vaut 0 puisqu'il y a orthogonalité.
Ensuite \(\vec{M^,T}:(a-x^,;b-y^,)\) et \(\vec{0M}:(x;y)\) tu calcules le produit scalaire et en utilisant la relation précédente tu obtiens 0 d'où l'orthogonalité de (OM) et de (M'T).

Pour la question 3 :

Je pense que tu dois construire plusieurs images, sachant déjà que celles des points d'intersection avec le cercle de centre O et de rayon 1 sont invariants.
Tu dois trouver une droite pour R' et un cercle pour S'.
La question 4 te permet de donner une équation de la droite.

Bonne continuation.

[Anne]

Moi je trouve que ax+by=x^2+y^2 car le produit scalaire de OM.TM=x(a-x)+y(b-y)=0
ax+by=x^2+y^2

[SoS-Math(11)]

Pardon, j'ai écris (OT) et (MT) perpendiculaire et je t'ai fais les calculs avec \(\vec{OM}\) et \(\vec{MT}\), toutes mes excuses.
Il faut donc lire :
On pose T(a,b) et M(x,y) d'où \vec{OT}:(a;b) et \vec{TM}:(a-x;b-y) tu en tires le relation ax+by=1 en utilisant le produit scalaire qui vaut 0 puisqu'il y a orthogonalité.

Bon courage

[anna]

c'est pas grave,l'erreur est humaine.
Mais quand jr fait OT.TM je trouve a^2+b^2=ax+by
et pour M'T.OM=xx'+yy'-(ax+by)
et comment peut-on exprimer x' en fonction de x et y' en fonction de y on sait que [/TeX]\overline{z} \([TeX]\)
donc x'+iy'=1/(x-iy)

[SoS-Math(11)]

Comme T est sur le cercle de centre O et de rayon 1 : tu as a²+b²=1.
On a \(z^,=\frac{z}{|z|^2}\) formule obtenue en multipliant par \(z\) le dénominateur et le numérateur de \(z^,\).
Tu peux en déduire \(x^,\) et \(y^,\) en fonction de \(x\) et de \(y\).
Ensuite en remplaçant dans ta seconde égalité il va te rester 1 - 1 ...

Bonne continuation

[anne]

Donc x'=1/x et y'=1/y?

[SoS-Math(11)]

Surtout pas, relis le dernier message : tu as \(z^,=\frac{z}{|z|^2}\) donc \(x^,+iy^,=\frac{x+iy}{x^2+y^2}\) déduis-en \(x^,\) et \(y^,\).
Vérifie en suite que \(xx^,+yy^, = 1\) et conclus pour le produit scalaire.

Bon courage, peut-être à demain

[anne]

merci.S'il vous plait derniere question :celle de 4.b sur l'ensemble R'

[SoS-Math(11)]

Pour la question 4b, divise l'égalité du 4a par \(z\overline{z}\) et pense que \(\frac{1}{z}=\overline{z^,}\) pour obtenir la relation du 4b.

Bonne fin d'exercice