Fonction Logarithme népérien.

[Kikou76]

Bonjour à tous, j'ai un exercice de math qui me pose vraiment problème, j'aurais besoin de votre aide!
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par f(x) = lnx - 1/lnx.
On nomme (C) la courbe représentative de f et T la courbe d'équation y = lnx dans un repère orthogonal (O;i;j).
1) Etudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +infi.
2)a) Déterminer la limite de [f(x) - lnx] en +infi. Interpréter graphiquement cette limite.
b) Préciser les positions relatives de (C) et de T.
3) On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1;+infi[.
Démontrer que la tangente Ta ) (C) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si f(a) - af'(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par g(x) = f(x) - xf'(x).
b) Montrer que sur ]1;+infi[, les équations g(x) = 0 et (lnx)^3 - (lnx)² - lnx - 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie par R par u(t) = t^3 - t² - t - 1, montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R.
d) En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe T sont donnnées grace à la calculatrice.
Tracer cette tangente le plus précisément possible.
4) On considère une réel m et l'équation f(x)=mx d'inconnue x.
Par lecture grahique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1;10].


Alors, pour ce qui est de mon travail :
1) On calcul la dérivé de f(x). Soit f'(x) = 1/x - 1/(1/X) = 1/x - x/1 = -x²/x = -x.
x étant négatif, on sait que la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive à l'intérieur des racines.
Pour les limites: en 1 = -1 et en +infi = -infi.
2)a)lim de [f(x) - lnx] en +infi donne : lnx - 1/lnx - lnx = 1/lnx = 1/+infi = 0. C'est une asymptote horizontale.
Et puis à partir de là, je bloque complètement. Je comprend les questions, mais le problème est la résolution et surtout la méthode.

J'espère que vous pourrez m'aider.
A bientot, et merci d'avance. Kikou!

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Il faut reprendre votre travail dès le début.
Vous vous êtes trompés dans l'expression de la fonction dérivée.
Attention la dérivée de la fonction \(\frac{1}{f}\) est la fonction \(\frac{-f^{\prime}}{f^2}\).

A bientôt.

[Kikou76]

Bonjour, et excusez-moi pour les erreurs de départ. Je reprend :

1) f'(x) = 1/x - [(-1/x) / (lnx)²] = 1/x + 1/x(lnx)² = [(lnx)²+1] / x(lnx)².
Comme le déno x est positif, alors f ' est du signe de (lnx)² +1 qui est positif entre les racines car (lnx)² est > 0.
Donc f ' > 0 pour x ]1;+infi[
et f est croissant sur cet intervalle.
lim f(x)= 0 - (+infi) = -infi.
x--> 1

Et lim f(x)= +infi - 0 = +infi.
x-->+infi

2)a) f(x)-lnx = lnx - 1/lnx - lnx = -1/lnx
lim [f(x)-lnx]=lim (-1/lnx) = 0
x-->+infi

Donc T d'équation y=lnx est asymptote à C.

b) On a vu que f(x)-lnx=-1/lnx
Or -1/lnx est tjrs < 0 sur ]1;+infi[
d'où f(x)-lnx < 0
donc f(x) < lnx. Et ainsi, C est en dessous T.

3)a) L'équa d'une tgte est y=f '(a)(x-a)+f(a)
ce qui donne y=f '(a)x -a*f '(a)+f(a)
L'ordonnée à l'origine de la tgte est donc -a*f '(a)+f(a)
Et cette tangente passe par O si l'ordonnée à l'origine vaut zéro donc si : -a*f '(a)+f(a)=0 soit f(a)-a*f '(a)=0

b) g(x)=f(x)-x*f '(x) = lnx -1/lnx -x*[(lnx)²+1]/x(lnx)² = lnx - 1/lnx - [(lnx)²+1]/x(lnx)²
mais je n'arrive pas à simplifier mon calcul afin de retrouver g(x)=[(lnx^3)-(lnx)2-lnx-1]/(lnx)2
Donc g(x) = 0 équivaut à (lnx)^3- (lnx)2 - lnx - 1 = 0

c) u'(t) = 3t² - 2t - 1
t² étant toujours positif, il suffit d'étudier la fonction polynome (3t²-4t-1)
Avec delta = 16 et Racine de delta = 4.
On trouve t1 = 1 et t2 = -1/3.
D'où u'(t) < 0 pour -1/3 < x < 1.
On vois grâce au tableau de variation que u(t) est décroissante sur [-1/3;1] et croissante pour le reste.
On a donc lim de u(t) en -infi = -infi.
lim de u(t) en +infi = +infi.
u(-1/3) = -3/10
u(1) = -2
Mais comment montrer que u(t) s'annule une seule fois sur ]1;+infi[ ?

d) On a (lnx)3- (lnx)2 - lnx - 1 = 0 pour une seule valeur de x ]1;+infi[.
Et f(a)-a*f '(a)=0 pour une seule valeur x=a avec a ]1;+infi[
Donc il existe une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.

4) f(x)=mx a pour solution l'abscisse des points d'intersection de la droite y=mx et de C.
Mais je reste bloquée là...


Merci pour votre aide, à bientot.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Pour la première question, l'expression de votre fonction dérivée est correcte.
Je ne comprends pas très bien comment vous démontrez qu'elle est positive.
On sait que \(x>1\) donc \(\ln(x)>0\). Par conséquent le numérateur et le dénominateur de la fonction dérivée sont strictement positifs.

Pour les limites, c'est bon.

Pour la question 2, tout va bien.

Pour la question 3b, f(x) - xf'(x) = 0 équivaut à ln(x) - 1/ln(x) - x (1/x + 1/xln²(x)) 0
Ce qui équivaut à ln(x) - 1/ln(x) - 1 - 1/ln²(x) = 0.
Si vous multipliez tout par ln²(x), vous allez y arriver.

Pour la question 3c, vous y êtes presque.
La fonction est strictement croissante sur \([1;+\infty[\) et on sait que \(u(1)=-2\) et \(\lim_{x\to+\infty}{u(x)=+\infty}\),
donc il existe a appartenant à l'intervalle \(]1;+\infty[\) tel que u(a) = 0.

On verra pour la suite quand vous aurez bien assimilé tout cela.
A bientôt.