Exercice sur Complexes

[Maxime]

Bonsoir

J'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre au sujet des complexes
Voici l'exercice

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (0;\(\overrightarrow{u}\);\(\overrightarrow{v}\))

On considère les points M\(\u_{n}\) d'affixe z\(\u_{n}\)=\(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)(1+i\(\sqrt{3}\)) où n est un entier naturel.

1) Démontrer que (z\(\u_{n}\)) est une suité géométrique, donner sa raison et son premier terme.
Donner z\(\u_{0}\), z\(\u_{1}\), z\(\u_{2}\), z\(\u_{3}\) et z\(\u_{4}\) sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

2) Placer les points M\(\u_{0}\), M\(\u_{1}\), M\(\u_{2}\), M\(\u_{3}\) et M\(\u_{4}\) (unité graphique 4cm)

3) Démontrer la distance OM\(\u_{n}\) en fonction de n.

4)a) Montrer que l'on a M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\)= \([tex]\)\frac{\(\sqrt{5}\)}{\(10^{n}\)}[/tex] pour tout n entier naturel.

4)b) On pose L\(\u_{n}\)= somme des M\(\u_{k}\)M\(\u_{k+1}\) de k=o jusqu'à n, c'est-à-dire: L\(\u_{n}\)=M\(\u_{0}\)M\(\u_{1}\)+M\(\u_{1}\)M\(\u_{2}\)+...+M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\).

Déterminer L\(\u_{n}\) en fonction de n puis limite de L\(\u_{n}\) quand n tend vers +\(\infty\).

5) Déterminer une mesure de l'angle (\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{0}\)}[/TeX];\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{n}\)}[/TeX]) en fonction de n.

Pour quelles valeurs de n les points O, M\(\u_{0}\) et M\(\u_{n}\) sont-ils alignés?

Cet exercice nous a été donné en bac blanc et on doit le refaire en DM.Lors du bac blanc je n'a réussi qu'à faire les questions 1 et 2.

je ne vois pas comment faire les questions 3, 4 et 5 malgré les débuts de piste de notre professeur:

3) OM\(\u_{n}\)= I z\(\u_{n}\)I

4) M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\)= I z\(\u_{n+1}\)- z\(\u_{n}\) I

5) (\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{0}\)}[/TeX];\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{n}\)}[/TeX])= arg \([tex]\)\frac{z\(\u_{n}\)-0}{z\(\u_{0}\)-0}[/tex]

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Maxime,

ton énoncé est difficile à lire ... mais je vais essayer de comprendre !

3) Je ne vois pas la difficulté ? OM = |z| = \(\sqr{(Re(z))^2+(Im(z))^2}\)
De plus \(|z_n|=|(\frac{1}{2})^n|\times{}|1+i\sqr{3}|\) soit \(|z_n|=\frac{1}{2^n}\times{}|1+i\sqr{3}|\)
Il te reste à calculer \(|1+i\sqr{3}|\)...

4a) La aussi, utilise l'aide ....

5) Les point O, \(M_0\) et \(M_n\) sont alignés si et seulement si (\((\vec{OM_0};\vec{OM_n})=0{...}ou{...}\pi\)
et (\((\vec{OM_0};\vec{OM_n})=arg(\frac{z_n}{z_0})\).

Bon courage,
SoSMath.

[Maxime]

Désolé pour l'écriture, c'est la première fois que j'utilisais Latex.

Donc le 3 je pensais pas qu'on pouvait ps décomposer en 2 modules donc je vis avancer ça ce soir et je vous tiendrais au courant demain

Merci

[SoS-Math(9)]

A demain Maxime,

Rappel : voici deux propriétés qu'il ne faut pas confondre ...
|zz'| = |z|*|z'|
|z+z'| < (ou=) |z|+|z'|

SoSMath.