DM de maths sur les suites avec initiation aux aires

[Léo12]

Bonjour j'ai un DM de maths à faire sur les sites et j'ai quelques questions, voici le sujet :

On considère une fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b] de R. On rappelle que si E est un ensemble de nombres, sup E est la borne supérieure de E et inf E est la
borne inférieure de E (cf. chapitre 0 ; I. 2°)). On définit : pour tout n appartenant à N*,
(1) Pour tout i appartenant à < 0 ; n >, \(a_i = a+\frac{b-a}{n}\);
(2) \(u_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\)inf{f(x) tel que \(x \in [a_i-1 ; a_i]\)} et \(v_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\)sup{f(x) tel que \(x \in [a_i-1 ; a_i]\)}.

1. Dans cette partie, on considère f(x)=x définie sur [0 ; 1] (et donc a = 0 et b = 1). On remarquera que cette fonction est bien continue [0 ; 1].

a) Sur Geogebra :
(1)Tracer la fonction f que l’on nommera C_f.
(2) Choisir une échelle et un cadrage idoine afin que la fonction apparaisse bien pour x appartenant à [0 ; 1].
(3) Créer 3 curseurs : un nommé n d’incrément 1 et de borne 0 et 100 ; deux autres, a et b, d’incrément 0,1 et de bornes – 5 et 5, que l’on placera, pour l’instant en 0 pour a et 1 pour b.
(4) Dans le menu « commande », en bas à droite de la fenêtre de Geogebra, sélectionner « SommeInférieure » et taper entre les crochets « C_f,a,b,n ». (Quelque chose de beau apparaît sur le graphique).
(5) Faire la même chose avec « SommeSupérieure ». (Pour rendre le graphique plus lisible on pourra alternativement ne pas afficher un des deux derniers objets créés.)

b) Sur Excel :
(1) Dans les cellules A1, A2 et A3, taper successivement « a = », « b = » et « n = » ; dans les cellules B1, B2 et B3, taper successivement « 0 », « 1 » et « 10 » ; dans les cellules A5, B5, C5 et D5, taper successivement « i », « ai », « inf » et « sup ».
(2) Dans les cellules A6 et A7, taper « 0 » et « 1 » ; puis tirer vers le bas jusqu’à 10 (cellule A16).
(3) Dans la cellule B6, taper « $B$1+A6*($B$2-$B$1)/$B$3 » (les $ servent à bloquer la référence qui suit) ; puis copier (tirer) cette formule jusqu’à la cellule B16.
(4) Dans la cellule C7, taper « B6^2 » ; puis copier (tirer) cette formule jusqu’à la cellule C16.
(5) Dans la cellule D7, taper « B7^2 » ; puis copier (tirer) cette formule jusqu’à la cellule D16. Dans la cellule A17, taper « somme » ; dans la C17, la formule « SOMME(C7:C16)*($B$2-$B$1)/$B$3 » et, dans la D17, la formule « SOMME(D7:D16)*($B$2-$B$1)/$B$3 ».
(6) Dans une deuxième feuille et une troisième feuille, copier ce qui préède, sauf la dernière ligne (17) ; changer n en 100 sur la deuxième et 1000 sur la troisième ; tirer d’abord les deux premières colonnes (A et B) jusquà la ligne 106 ou 1006 ; puis les deux dernières (C et D). Ajouter la ligne des sommes idoines (on pourra copier C17 et D17 de la première feuille et adapter la sélection).

c) Où l’on explique ce que l’on a fait :
alpha) Expliquer, en termes d’aires de rectangles, ce que sont un et vn pour chaque n appartient à N*. Pourquoi chacun de ces deux nombres encadre-t-il l’aire comprise entre Ox la courbe de f et les droites d’équations respectives x = a et x = b ?
beta) Placer le curseur n de Geogebra sur 10. Comparer les valeurs affichées pour «SommeInférieure» et « SommeSupérieure » avec celles de la première feuille d’Excel. Expliquer très précisément la concordance des résultats.
gamma) ) Placer le curseur n de Geogebra sur 100. Comparer avec la feuille idoine d’Excel.
epsilon) Quel est l’intérêt de la troisième feuille d’Excel ? Quel encadrement peut-on en déduire de la valeur de l’aire comprise entre Ox la courbe de f et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1 ? Quelle conjecture (la plus complète et précise possible) peut-on faire sur les suites \((u_n)_n\in N*\) et \((v_n)_n\in N*\)?

d) Où l’on démontre les conjectures :
alpha) Justifier le choix des formules des colonnes C et D, dans Excel ? Ces choix seraient-ils possibles si la fonction n’était pas croissante ? Que faudrait-il choisir si elle était décroissante ?
beta) Prouver que les suites \((u_n)_n\in N*\) et \((v_n)_n\in N*\) sont effectivement adjacentes.
gamma) On rappelle que, \(\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)(2n+2)}{6}\) pour tout n appartenant à N (résultat prouvé dans l’exercice n° 7 p. 161). En déduire la valeur exacte de l’aire comprise entre Ox la courbe de f et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1. (un peu long à écrire lisiblement!)

Donc j'ai commencé par faire les exercices sur l'ordi donc voici ma courbe géogébra :

Téléchargez la figure ici.

Au niveau d'excel je n'ai pas réussi à le mettre en pièce jointe et c'est assez compliqué de mettre ce que j'ai fait puisqu'il y a plus de 1000 lignes.

Au niveau des questions déjà je n'ai pas bien compris les expression de \((u_n)\) et \((v_n)\) donc ça me bloque pour tout l'exercice. Pouvez-vous m'éclairer ou me donner quelques pistes de réflexions ?

Merci d'avance,

Léo12

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Ton travail sur Geogebra semble correct ...

f(x) = x.
donc sur \([a_{i-1};a_i]\) le sup de f(x) est \(a_i\) et l'inf de f est \(a_{i-1}\)
Donc \(u_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i-1}=\frac{1}{n}(a_0+a_1+...+a_{n-1})\), de même pour (Vn) (à toi de l'écrire ...)

En suite il faut utiliser le fait que \(a_{i-1}=a+(i-1)\frac{b-a}{n}\).
Avec cela tu vas trouver l'expression de Un en fonction de n.

Bon courage,
SoSMath.

[Léo12]

Merci de m'avoir répondu si vite!

Donc si j'ai bien compris, on a pour tout n appartenant à N* :

\(u_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_{i-1}=\frac{1}{n}(a_0+a_1+...+a_{n-1})\) et \(v_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_{i}=\frac{1}{n}(a_0+a_1+...+a_{n})\)

or \(a_{i-1}=a+(i-1)\frac{b-a}{n}\) et \(a_{i}=a+i(\frac{b-a}{n})\)

donc \(u_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_{i-1}=\frac{1}{n}[a_0+a_1+...+a+(n-1)\frac{b-a}{n}]\) et \(v_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_{i}=\frac{1}{n}(a_0+a_1+...+b)\)

Pour l'histoire d'encadrement je crois que c'est à cause de l'histoire de SupE et de InfE, enfin j'ai un peu du mal à cerner les questions.

Sinon pour la question 1°) où il faut remarquer que la fonction f est continue sur l'intervalle [0;1], d'après moi il faut juste dire que c'est une fonction affine et qu'elle est donc continue et dérivable sur R et par conséquent sur [0;1] puisque \([0;1]\subset R\).

Léo12

[SoS-Math(9)]

Léo,

tu as commis une erreur pour Vn ... V/n = (a1 +a2 + .... + an)/n.
En suite il faut remplace chaque \(a_i\)par son expression ...
Donc \(u_n=\frac{1}{n}(a+(a+\frac{b-a}{n}+(a+2\frac{b-a}{n}+....+(a+(n-1)\frac{b-a}{n})=...=a+\frac{b-a}{n^2}(1+2+..+(n-1))\)

Par contre il doit y avoir une erreur dans ton énoncé, en effet \(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\) et non ce que tu as écrit.

Pour l'encadrement, on a pour tout x de \([a_{i-1};a_i]\) inf f(x) < f(x) < sup f(x) ....

Pour la question, je pense que tu as raison ...

Bonne continuation,
SoSMath.

[Léo12]

Bonsoir,

Après quelques jours de recherche j'ai toujours du mal à comprendre la subtilité des questions mais je crois avoir compris l'idée de l'exercice.

Une petite aide serait la bienvenue.

Merci d'avance,
Bonne soirée
Léo12

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Je ne vois pas ce que je peux faire pour t'aider .... cependant voila l'expression de Un :


\(u_n=a+\frac{b-a}{n^2}(1+2+..+(n-1))=a+\frac{b-a}{n^2}\frac{(n-1)n}{2}=a+\frac{(b-a)(n-1)}{2n}=\frac{2na+b(n-1)-an-a}{2n}=\frac{(b+a)(n-1)}{2n}=\frac{(b+a)}{2}\times\frac{n-1}{n}\).

A toi de faire la même chose pour Vn.

SoSMath.

[Léo12]

Bonsoir,

J'ai commis une erreur en recopiant l'énoncé, c'est f(x) =x^2 et non pas f(x)=x

Je propose ceci pour:
alpha) La suite (un) représente l'aire des rectangles supérieurs à la courbe Cf et la suite (vn) représente l'aire des rectangles inférieurs à la courbe Cf. J'ai remarqué que ensuite que (un) était la somme des rectangles au-desous de Cf et que (vn) était la somme des rectangles au-dessus de Cf, on voit donc bien que l'aire comprise entre la courbe et les droites x=a et x=b est encadrée par (un) et (vn)
(cette question je suis pas trop sur sur la rédaction)

beta) On peut constater que les valeurs pour "SommeInférieure" sont concordantes avec les rectangles au-dessous de la courbe tandis que les valeurs "SommeSupérieure" sont concordantes avec ceux au-dessus de la courbe.
Nous pouvons ici remarquer que les valeurs affichées pour "SommeInférieure" sont les valeurs des aires correspondant aux rectangles au-dessous de la courbe, c'est-à-dire aux valeurs de un pour chaque n. De la même manière on remarque que les valeurs affichées pour "SommeSupérieure" sont les valeurs des aires correspondant aux rectangles au-dessus de la courbe, c'est-à-dire aux valeurs de vn pour chaque n.
(est-ce bien expliquer?)

gamma) Nous remarquons comme dans la question précédente que les valeurs "SommeInférieure" sont concordantes avec les rectangles au-dessous de la courbe et que les valeurs "SommeSupérieure" sont concordantes avec ceux au-dessus de la courbe.

epsilon) L'intérêt de la troisième feuille est d'avoir une valeur précise de l'aire entre la courbe, Ox et les droites d'équations x=a et x=b.
On a alors :
Un<\(\int_{0}^{1}x^2dx\)<Vn

(pas sur) On peut conjecturer que (un) ou (vn) est croissante/décroissante....

d) alpha) Nous avons pris ces formules dans les colonne C et D car U0=1 et V0=1. Ces choix ne seraient pas possibles si la fonction était décroissante, il faudrait inverser les formules, c'est-à-dire mettre celle de la colonne C à la place de celle de D et vice versa.
beta)

sinon je n'avais pas mis la fin du DM, j'ajoute ça sur mon post avec le géogébra modifié!

merci d'avance!

Téléchargez la figure ici.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Léo,

Ce que tu as écrit semble correct.

Je te rappelle que ta formule \(\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) est fausse !!!

Par contre on a \(\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

SoSMath.

[Léo12]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse, je vais envoyer de suite un message à mon professeur pour lui le k^2 !
Sinon je voulais savoir ce que vous pensiez de la question epsilon, comment pourrais-je démontrer que un et croissante et vn décroissante ?

Cordialement,
Léo12

[Léo12]

Je viens de vérifier dans mon livre à l'exercice 7 page 161 et il est écrit :

Pour tout n supérieur ou égale à 1 :

\(\sum_{k=1}^{n}c_k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

En faite c'est juste le "point de départ" où il y avait un problème, j'envois quand même un message à mon professeur.

Merci de m'avoir prévenu

Léo12

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu as \(\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\) et \(\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) : cela fait longtemps que ces formules existent ! Le fait qu'on débute à n=0 ou n=1 ne change rien : cela n'ajoute pas de valeur.

[Leo12]

Je vais attendre la reponse de mon professeur et vous la transmettrait.
Que pensez vous de la question epsilone ?

Cordialement,
Leo12

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Pour démontrer que tes suites sont croisssantes ou décroissantes, tu peux étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).

SoSMath.

[Léo12]

Je pensais également faire ça mais je crois que ce n'est pas nécessaire en faite. Ce qui me pose problème est la conjecture du epsilon), est-ce par rapport aux aires des rectangles ?

Pour démontrer que les suites sont adjacentes je propose :
\(u_n - v_n\)=\(\frac{b-a}{n} (\sum_{i=0}^{n-1} f(a+\frac{b-a}{n}i)-\sum_{i=1}^{n} f(a+\frac{b-a}{n}i))\)
\(=\frac{b-a}{n}(f(a)-f(b))\)

donc lim\(\frac{b-a}{n}\)=0
n->+oo

donc lim\(\frac{b-a}{n}(f(a)-f(b))\)=0
n->+oo

Suis-je sur la bonne voie ?

[SoS-Math(9)]

Léo,

Cela paraît pertinent !
Il reste à montrer que qu'une suite est croissante et l'autre décroissante.

SoSMath.