Devoir Maison sur la dérivation

[Timothée]

Bonjour,
je suis actuellement sur un devoir maison portant sur la dérivation, et il s'avère que j'ai un grand nombre de difficultés pour en venir à terme.
Voici l'énoncé complet :

1. x est un réel positif ou nul.
Etablissez successivement, à l'aide d'études des variations de fonctions bien choisies, les inégalités suivantes :

a) \(sin x \leq x\)
b)\(1-\frac{x^2}{2}\leq cos x\)
c)\(x-\frac{x^3}{6} \leq sin x\)
d)\(cos x \leq 1-\frac{ x^2}{2}+\frac{ x^4}{24}\)

2. Déduisez de ce qui précède, pour x positif ou nul, un encadrement :

a) de sin x par deux polynômes.
b) de cos x par deux polynômes.

3. Donnez alors un minorant et un majorant de cos 0,5 puis de sin 0,5.


Dans ce que j'ai fait :
* Déjà, on nous dit que x est un réel positif ou nul. On va donc travailler sur \(\Re+\).
Ensuite, la manière dont l'énoncé est formulé est déroutante ; on doit établir des inégalités... peut-être démontrer ces inégalités ?
Successivement, je pense avoir trouvé :

Pour le a), j'ai :

\(f(x) = sin x - x\)
Ce qui me donne, après avoir dérivé :

f'(x) = cos x - 1

Or, cos 0 = 1 et 1 - 1 = 0. Faut-il faire un tableau de variations ?
Et... là, je suis coincé.

J'ai donc essayé de faire la b)
Après avoir dérivé f(x) = \(1-\frac{x^2}{2}-cos x\), j'obtiens :
f'(x) = \(0 - x + sin x = sin x - x\)

On voit que c'est identique au terme a), mais après je ne vois pas quoi faire...

Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

Tu trouves pour la dérivée de f , f '(x)=cos(x)-1

Or tu sais que cos(x) <=1 donc cos(x)-1 <=0 donc f '(x) <=0, donc f est strictement décroissante sur IR+. or f(0)=0 donc ......


pour la deuxième ( donne lui un autre nom),utilise les résultats obtenus pour f.

sosmaths

[Timothée]

Aaaaah !
Merci ! Je comprends mieux.

Mais si je comprends bien... pour la question 2., il n'y a qu'à encadrer grâce à ce que je sais avec par exemple sin(x) <= x et x-(x^3/6) <= sin(x), ce qui donnerait :

x-(x^3/6) <= sin(x) <= x ?

[SoS-Math(4)]

oui, c'est ça, la question 2 est une synthèse de ce qui précède.

sosmaths

[Timothée]

D'accord d'accord...
Et, juste une dernière question : lorsqu'on me demande le minorant de sin(0,5), c'est grâce à cette synthèse ?
Enfin je veux dire qu'il faut utiliser cet encadrement et ainsi le polynôme x-(x^3/6) ?

[SoS-Math(4)]

tu devrais réfléchir un peu avant de poser une question .

sosmaths