suite definie à partir d'equation

[Joe]

bonjour, j'ai un devoir a faire qui me pose quelques problemes.
Voici l'enonce:
Pour tout n appartenant a N\{0}, on definit:
Fn: R*+ ---> R
x ---> ln x + (2x/n) -2

1) Soit n appartenant a N*
a) Etudier les limites de Fn en 0 et + l'inf. Etudier les variations de Fn
b) Demontrer que l'equation Fn(x) =0 d'inconnue reelle x admet une unique solution alpha n sur ]0; + inf[. Prouver que alpha n appartient à [1; e^2].
2) Dans le plan muni d'un repere orthonorme (0,i,j), on ote T la courbe representative de la fonction logarithme neperien et delta n la droite passant par les points G ( 0;2) et Bn(n;0), pout out n appartenant a N*.
a) Determiner une equation de delta n , pour tout n appartenant à N*. faire un graphique ou l'on representera T ainsi que delta 1, delta 2 et delta 3
b) Prouver que alpha n, est l'abscisse du point d'intersection de T et delta n, pour tout n appartenant à N*. Preciser la valeur de alpha 1.
Quelle conjecture peut on faire sur le sens de variation de la suite (alpha n) n € N* ?
3) a) Pour tout n appartenant à N*, exprimer ln(alpha n) puis F(alpha n+1) en fonction de n et alpha n. Montrer que Fn(alpha n) <0. En deduire le sens de variation de (alpha n).
b) Montrer que la suite (alpha n) converge. On note sa limite l .
Etablir que ln (l) = 2 et en deduire la valeur de l .

Tout d'abaord, j'ai fait les limites de Fn(x):
-lim fn(x) = - inf quand x tend vers 0 car lim ln(x) = - inf quand x tend vers 0
-lim fn(x) = + inf quand x tend vers + inf car lim ln(x) = + inf quand x tend vers + inf
je ne sais pas si c'est assez justifie voir j'ai un doute sur la limite en 0 .....
Ensuite, j'ai dit:
f est la somme de deux fonctions , la fonction logarithme neperien et une fonction affine derivable sur R*+ donc f est derivable sur R*+ d'ou :
F'n(x)= (1/x) + (2/n)
puis (2/n) > 0 car n appartient a N* et la je bloque.
Pouvez vous m'aider ?
Merci
Joe

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour l'étude des limites, ce que tu dis est correct, il faut juste préciser un peu pour la rédaction : tu as une somme de fonctions donc on étudie la limite de chaque terme puis on fait la somme des limites. Par exemple,
pour \(+\infty\) : \(\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\)(limite de la fonction usuelle ln) ; \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{n}-2=+\infty\) (fonction affine de coefficient directeur positif) donc \(F_n\) comme somme de ces deux fonctions aura pour limite la somme des limites soit \(+\infty\).
Pour la dérivabilité, c'est bien justifié ; la dérivée est correcte. Il faut ensuite se souvenir que l'on est sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) donc \(\frac{1}{x}>0\), et comme n est un entier naturel \(\frac{2}{n}>0\), on a donc une dérivée positive sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) donc une fonction strictement croissante sur cet intervalle. Après pour l'existence d'une solution, c'est une histoire de fonction continue strictement croissante qui définit donc une bijection de \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) vers l'intervalle image \(]-\infty;+\infty[\). Comme 0 est dans cet intervalle image, il admet un unique antécédent, donc l'équation \(F_n(x)=0\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}^{*}_{+}\). Pour préciser l'intervalle donné, il suffit de calcules les images des deux bornes de l'intervalle, on doit en avoir une de positive, une de négative, donc 0 est inclus dans l'intervalle image, donc l'antécédent de 0 est dans cet intervalle de départ.

[Joe]

Bonjour,
Tout d'abord merci pour votre aide.
Je vous renvoie un message car pour la queestion 1)b), j'ai untilise le corollaire des valeurs intermediares donc j'ai prouve que Fn(x) admettait bien une solution unique alpha n.
Ensuite je ne suis plus tres sur,
j'ai calcule Fn(1)=0
et Fn(e^2)=(2e^2)/n
Donc alpha n appartient bien a l'intervalle [1; e^2]
Pour la question 2) a), j'ai fait pour l'equation de delta n:
delta n = (yb-yg)/(xb-xg)=-2/n
Est ce le bon raisonnement ?
Merci,
Joe

[sos-math(21)]

Oui, cela doit être cela,
Je suis d'accord pour \(F_n(e^2)=\frac{2e^2}{n}\) mais pour \(F_n(1)=\ln(1)+\frac{2}{n}=\frac{2}{n}-2\) (où est passé ton \(n\) ? il n'est pas égal à 1, c'est \(x\) qui vaut 1)!
Donc comme \(n>0\), on a \(\frac{2}{n}-2<0\) donc l'intervalle image contient bien 0, donc l'antécédent de 0 est bien dans l'intervalle \([1;e^2]\).
Pour l'équation de la droite, c'est bien le taux d'accroissement qu'il faut faire \(a(\Delta_n)=\frac{-2}{n}\), comme (0,2) est le point d'ordonnée à l'origine, l'équation est donnée par \(\Delta_n\,:\,y=\frac{-2}{n}x+2\).
A toi de poursuivre

[Joe]

Bonjour,
En effet, j'avais pris n pour un x ...
Concernant le graphique, les trois courbes de delta se coupent en 2.
Pour la question 2)b), je pense que c'est grace aux courbes delta 2 ou delta 3 que je pourrai determiner alpha n car les courbes delta 1 et ln(x) se coupent en 1 et alpha n est superieur a 1 d'apres 1)b).
Par contre je ne vois pas comment prouver que alpha n est l'abscisse du point d'intersection.
Merci pour votre aide,
Joe

[sos-math(21)]

T est la courbe représentative de la fonction \(x\to\ln(x)\), \(\Delta_n\) est la droite d'équation \(y=\frac{-2}{n}x+2\).
Rechercher l'abscisse des points d'intersection de ces deux courbes revient donc à résoudre l'équation \(\ln(x)=\frac{-2}{n}x+2\) (en effet on cherche les points intersections donc des points qui ont même abscisse et même ordonnée, ce qui revient bien à résoudre f(x)=g(x)).
Quand on passe tout à gauche, on a quoi ? on a \(F_n(x)=0\), tiens tiens... cette équation a pour solution \(\alpha_n\), qui sera donc bien l'abscisse du point d'intersection des courbes.

[Joe]

Merci beaucoup pour vos aides, je n'y avait pas pense ^^.
Je trouve pour la suite de la question que
alpha 1 = 0 (je n'en suis pas tres sur)
Apres, on peut en deduie que la suite (alpha n) est croissante.
Dois je justifier pour dire qu'elle est croissante ?
Merci,
Joe

[Joe]

Merci beaucoup pour vos aides, je n'y avait pas pense ^^.
Je trouve pour la suite de la question que
alpha 1 = 0 (je n'en suis pas tres sur)
Apres, on peut en deduie que la suite (alpha n) est croissante.
Dois je justifier pour dire qu'elle est croissante ?
Merci,
Joe

[sos-math(21)]

Attention,
\(\alpha_1\) est solution de \(F_1(x)=0\), où \(F_1\) utilise le logarithme et le logarithme n'est pas défini en 0, donc \(\alpha_1\) ne peut pas être égal à 0. (je dirais plutôt, et tu l'as déjà dit, que \(\alpha_1=1\).)
Pour la croissance, on te demande une conjecture, c'est-à-dire une observation, une idée, une hypothèse qui te semble correcte mais qui n'a pas été démontrée : on ne te demande pas la démonstration, tu peux juste donner une argumentation graphique, en disant que ta courbe ln est faiblement croissante et que tes droites \(\Delta_n\) sont de plus en plus "tirée" vers l'infini à droite, donc le point d'intersection se décale à chaque fois un peu plus vers la droite, donc l'abscisse de celui-ci croit. La démonstration se fait dans la question suivante. (c'est ce qu'on appelle en maths des suites définies implicitement).

[Joe]

D'accord, merci.
Pour le debut de la question 3)a), je ne voit pas par ou commencer. Je sais que alpha n est croissante mais je n'ai pas son equation et je pense que c'est sa qui me perturbe.
Merci de bien vouloir m'aider
Joe

[sos-math(21)]

Attention,
tu penses que la suite \((\alpha_n)\) est croissante mais comme tu ne l'as pas prouvé, tu ne peux pas l'utiliser.
La dernière question donne une démonstration de cette croissance.
Je ne suis pas sûr que ton énoncé soit correct pour les dernières questions :
Moi, je ferais :
- exprimer \(\ln(\alpha_n)\) en fonction de n : il suffit d'utiliser ce qui définit \(\alpha_n\) : \(F_n(\alpha_n)=0\) et on en déduit \(\ln(\alpha_n)\) en fonction de n ;
- ensuite je calculerais : \(F_{n+1}(\alpha_n)\), dans lequel je réinjecterais l'expression de \(\ln(\alpha_n)\), on factorise par \(2\alpha_n\) et on obtient après calcul que \(F_{n+1}(\alpha_n)<0\), ce qui signifie d'après le théorème des valeurs intermédiaires que \(\alpha_n\) est situé avant le "zéro" de \(F_{n+1}\) qui n'est autre que \(\alpha_{n+1}\), ce qui donne \(\alpha_n<\alpha_{n+1}\) et la croissance de la suite

[Joe]

Bonsoir,
J'ai demande a mon professeur, il me repondra jeudi dernier delai.
Poue ce qui est de la question 3)a), j'ai fait:
ln alpha n= (-(2alpha n)/n)+2

et Fn+1(alpha n) = ln alpha n+1 + (2alpha n /n+1) -2
= 2 alpha n ( -1/ n(n+1))

ensuite, je trouve Fn(alpha n+1) = ln alpha (n+1) + (2 alpha (n+1)/n) -2
= 0
Est ce juste avec votre methode ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour le début, tu t'es bien débrouillé.
En effet en évaluant \(F_{n+1}(\alpha_n)\) et en remplaçant \(\ln(\alpha_n)\) par son expression on a bien :
\(F_{n+1}(\alpha_n)=2\alpha_n\times\frac{-1}{n(n+1)}<0\) donc comme \(F_{n+1}(\alpha_{n+1})=0\) on a donc
\(F_{n+1}(\alpha_n)<F_{n+1}(\alpha_{n+1})\) et comme \(F_{n+1}\) est croissante, on a en revenant aux antécédents :
\(\alpha_n<\alpha_{n+1}\) d'où la croissance de \((\alpha_n)\)
En revanche, je ne comprends pas ton dernier résultat qui me semble faux et qui en plus ne doit pas servir à grand chose.

[Joe]

Bonsoir,
Tout d'abord, je tenais a vous dire que vous aviez raison sur le fait que mon enonce soit faux.
Il fallait bien faire ce que vous m'avez dit de faire.
Ensuite pour la uestion 3)b) je pense que je suis sur la bon chemin mais j'en suis pas si sûr que sa.
Voila ce que j'ai fait:
Lim ln alpha n = 2
n-->+ inf
( s'il y a une indetermination je ne vois pas comment la lever)
Comme alpha n est croissante et qu'elle est majoree, alors elle est convergente.
On note l sa limite.
Donc lim l = 2
n--> + inf
Merci de me repondre
Joe

[SoS-Math(9)]

Bonjour Joe,

Je ne comprends pas ce que tu as écrit :" lim l = 2" ?

tu as bien démontré que \(\alpha_n\) converge vers une limite \(l\). Donc \(\lim_{x \to +\infty}\alpha_n=l\)
Comme \(\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{n}=0\) alors \(\lim_{x \to +\infty}\frac{2\alpha_n}{n}=0\).
De plus comme la fonction ln est continue, alors \(\lim_{x \to +\infty}ln(\alpha_n)=ln(l)\)
donc \(\lim_{x \to +\infty}ln(\alpha_n)+\frac{2\alpha_n}{n}-2=ln(l)-2\).
Or \(ln(\alpha_n)+\frac{2\alpha_n}{n}-2=0\), donc \(ln(l)-2=0\).

SoSMath.