Suites

[Anthony]

Bonsoir,
j'ai un exercice sur les suites où la tout me semble impossible, mais il doit être faisable avec un petit peu d'aide.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0<a<b.
on définit les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) par :
\(u_{0}\)=a et, pour tout n appartenant à N, \(u_{n+1}\)=(2\(u_{n}\)\(w_{n}\))/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
\(w_{0}\)=b et pour tout n de N, \(w_{n+1}\)=(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))/2

1) Vérifier que (\(u_{n}\)) et(\(w_{n}\)) sont strictement positives.
J'ai pensé à une récurrence mais par exemple pour démontrer dans l'hérédité, que \(u_{n+1}\)>0, j'ai utilisé le fait que \(u_{n}\)>0(d'après (Hn)) et je suis parti du fait que \(w_{n}\) était positive. J'ignore si c'est la bonne méthode.

2) On pose, pour tout n appartenant à N, \(t_{n}\) =\(w_{n}\) - \(u_{n}\).
Démontrer que 0 \(\leq\) \(t_{n+1}\) \(\leq\)1/2 \(t_{n}\), et en déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
pour tout n appartenant à N, on a 0\(\leq\) \(t_{n}\), \(\leq\) (b-a)/2^n
Là je ne vois absolument pas comment démontrer ne serait-ce que la première partie.

3) Démontrer que la suite (\(u_{n}\)) est croissante et (\(w_{n}\)) est décroissante.
J'ai fait \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) mais je trouve des résultats étranges :
(\(u_{n}\)\(w_{n}\)+\(u_{n}\)²-2\(w_{n}\)²)/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
et de même pour \(w_{n+1}\)- \(w_{n}\) = (5\(u_{n}\)- \(w_{n}\))/2

4) Que peut-on en déduire pour les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\))?
Là je pense que ces deux suites sont donc adjacentes car lim (en +oo) \(t_{n}\) = 0 (question 2 avec le théorème des gendarmes)
5) A l’aide de l’étude de la suite (\(u_{n}\) \(w_{n}\)), déteminer la valeur de la limite commune des suites (\(u_{n}\)) et (\(w)_{n}\).
Là je ne vois pas trop.
6) En prenant a=3 et b=5, déterminer à l’aide de (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) un encadrement d’amplitude inférieur à 10^-2 de \(\sqrt{15}\) par deux rationnels.

Merci, si vous le pouvez, de m’aider.
Bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

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Bon courage