Suite de Fibonacci

[Vincent]

Bonsoir, j'ai un exo de maths où je bloque un peu.
Soit(Un) la suite définie par : \(u_{0}\) = 1 et \(u_{1}\) = 1, et, pour tout n entier naturel n, \(u_{n+2}\) = \(u_{n+1}\) + \(u_{n}\)

1) Calculer les dix premiers termes de (\(u_{n}\))
Démontrer que (\(u_{n}\)) est strictement positive et croissante.
2) On définit la suite (\(w_{n}\)) par :
pour tout entier n, \(w_{n}\) = \(u_{n+1}\) / \(u_{n}\)
a) démontrer que la suite (\(w_{n}\)) est strictement positive et croissante.
(On pourra étudier les quotients \(w_{n+1}\) / \(w_{n}\)
b) Démontrer que (\(w_{n}\)) est majorée par 2.
3) Démontrer, que pour tout entier naturel n, on a :
\(w_{n+2}\) = 1+ 1/\(w_{n}\)
4) Calculer w= lim \(w_{n}\) lorsque n tend vers +oo

Voilà ce que j'ai commencé à faire:
1) \(u_{2}\)=2
\(u_{3}\)=3
\(u_{4}\)=5
\(u_{5}\)=8
\(u_{6}\)=13
\(u_{7}\)=21
\(u_{8}\)=34
\(u_{9}\)=55

Pour la croissance et le signe, notre professeur nous a dit qu'il fallait faire une récurrence:
On pose pour tout n appartenant à N*, (Hn): \(u_{n}\) >0 et \(u_{n}\) >(ou égal) \(u_{n-1}\) et \(u_{n-1}\)>0.

Initialialisation : pour n =1,

\(u_{1}\)=1 et 1>0
De plus \(u_{0}\)=1 donc \(u_{0}\)>(ou égal)\(u_{1}\)
et \(u_{0}\)>0
Donc (H0) est vraie
Hérédité
On veut prouver que pour tout appartenant à N* : ((Hn) =>(Hn+1)).
On suppose que (Hn) est vraie ;
on veut en déduire que (Hn+1) : \(u_{n+1}\)>0 et \(u_{n+1}\)> \(u_{n}\) et \(u_{n}\)>0
On a : c’est ici que je bloque, je pense que \(u_{n}\)>0 d’après (Hn) mais ensuite je ne vois pas du tout.

2a) Je ne vois pas trop non plus.
Pour la 2b) je pense qu’il faut aussi faire une récurrence grâce à la 2a) on a démontré que (\(w_{n}\)) est croissante donc on pourrait faire une récurrence : (\(w_{n}\))>1.
3)4) Je ne vois pas non plus.

Merci d’avance pour un peu d’aide
Vincent.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Vincent,

Tu as \(H_n\) qui est \(u_n\geq0\) et \(u_n\geq{u_{n-1}}\) et \(u_{n-1}\geq0\).

Comme \(u_{n+1}=u_n+{u_{n-1}}\), tu peux conclure facilement que \(u_{n+1}\geq{u_n}\), \(u_{n+1}\geq0\) et \(u_n\geq0\).

2) Pour a et b strictement positifs, si le quotient \(\frac{a}{b}\geq1\) alors \(a\geq\).
Démontre que : \(\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{u_{n+1}}{u_{n-1}}\) et pense que \(u_{n+1}=u_n+{u_{n-1}}\), remplace et conclus.

3) C'est le même calcul qu'à la question 2 : \(\frac{w_{n+2}}{w_n}=\frac{u_{n+2}}{u_{n}}\) et utilise \(u_{n+2}=u_n+{u_{n+1}}\).
Utilise la question 2 pour la majoration.

4) La limite de \(w_n\) et celle de \(w_{n+2}\) si elles existent sont les mêmes. L'existence est prouvé par la propriété "toute suite croissante majorée admet une limite".
Si cette limite est notée L, tu as \(L=1+\frac{1}{L}\), résout cette équation et déduis-en L

Bonne continuation.

[Vincent]

Merci beaucoup,
voici ce que je propose:
1) je reprend où je m'étais arrêter pour la récurrence
Hérédité
on a \(u_{n+1}\) = \(u_{n}\) + \(u_{n-1}\)
or d'après (Hn), \(u_{n}\)>(ou égal) \(u_{n-1}\) et \(u_{n-1}\) >0 et \(u_{n}\)>0
donc \(u_{n+1}\) > \(u_{n}\) et \(u_{n+1}\) >(ou égal)0 et \(u_{n}\)>0

Donc (Hn+1) est vraie.
On a donc bien prouvé par récurrence que pour tout n appartenant à N*, (Hn) est vraie.
Donc (\(u_{n}\)) est strictement positive et croissante.
Est-ce assez justifié?

2a) On a pour tout n appartenant à N, \(w_{n+1}\)/\(w_{n}\) = \(u_{n+2}\)/\(u_{n}\)
donc \(w_{n+1}\)/\(w_{n}\) = \(u_{n+1}\)/\(u_{n-1}\)
or \(u_{n+1}\)= \(u_{n}\)+\(u_{n+1}\)
donc \(w_{n+1}\)/\(w_{n}\) = (\(u_{n}\) +\(u_{n-1}\)) /\(u_{n-1}\)
Cependant je ne vois pas réellement en quoi cela peut me permettre de déterminer sa positivité et sa croissance.
Merci de m'éclairer.
Vincent

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Vincent,

Pour le 1 OK,

Pour le 2) Il faut que le rapport soit supérieur à 1, or\(w_{n+1}/w_{n} = (u_{n} +u_{n-1}) /u_{n-1}=\frac{u_n}{u{n-1}}+\frac{u{n-1}}{u_{n-1}}\) simplifie cette égalité ce qui te permet de conclure pour la comparaison avec 1 et pour le sens de variation.

Bonne continuation

[Vincent]

Merci bien.Je viens de le terminer et je trouve pour la question 4) L=1 mais je n'en suis pas du tout sur.

Bonne soirée et encore merci.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

L n'est pas 1, cela ne correspond pas à cette équation : \(L=1+\frac{1}{L}\).
Multiplie les deux membres par L, cela te donne une équation du second degré.

Bonne continuation

[Gilles]

Bonjour,
J'ai le même exercice. J'ai vraiment tout compris sauf por la croissance de (\(w_{n}\)).
\(w_{n+1}\)/\(w_{n}\) = (\(u_{n+2}\)/\(u_{n+1}\)) x (\(u_{n}\)/\(u_{n+1}\)) donc pas à ce qui a été dit auparavant.
Ensuite cela deviens très compliqué dans les calculs.
Donc je me suis dit qu'il fallait faire une récurrence: pour tout n appartenant à N*, (Hn): \(w_{n+1}\)>\(w_{n}\)
Pour l'initialisation, on calcule \(w_{1}\) = 1/2 et \(w_{2}\) = 2/3 donc (H1) est vraie.
Mais pour l'hérédité je bloque complétement.
Merci de me donner un coup de pouce.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Gilles,

en effet ta méthode n'aboutit pas ...
Par contre tu peux déterminer le signe de \(w_{n+1}-w_n\) en utiliser le fait que la suite \(u\) est croissante et positive (donc pour tout n, \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1\)).

SoSMath.

[Gilles]

Merci beaucoup.
On a donc:
Wn+1-Wn= (Un+2/Un+1) -(Un+1 /Un)
Or la suite (Un) est croissante et positive donc (Wn) est croissante.
Est-ce assez justifié?
Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
je reprends le message en cours de route.
Si tu as \(w_{n+1}-w_n=\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}-\frac{u_{n+1}}{u_n}\), alors le simple recours à la croissance et positivité des \(u_n\), ne suffira pas, car il n'y a rien d'évident si tu laisses l'expression de droite comme cela.
Mets au même dénominateur, factorise par \(u_n\), ce sera beaucoup plus évident...

[Gilles]

Merci mais je ne sais pas si c'est réellement juste:
Wn+1 - Wn = (Un+2 x Un - Un+1 x Un+1)/(Un+1 x Un)
Or (Un) est croissante et strictement positive. Wn+1 -Wn est donc du signe du numérateur.
Un+2 x Un - Un+1 x Un+1 = (Un+Un+1)xUn - (Un +Un-1)² mais après je ne vois pas du tout.
J'ai utilisé le fait que Un+1 = Un +Un-1 et Un+2 = Un+1 +Un mais bon ....
Merci d'avance.
Gilles

[sos-math(21)]

Bonjour,
En partant de :
\(w_{n+1}-w_n=\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}-\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2}{u_{n+1}u_n}=\frac{(u_n+u_{n+1})u_n-u_{n+1}^2}{u_{n+1}u_n}\) . Il reste à étudier le signe de ce numérateur : Je réfléchis à un truc et je relance un message.

[Gilles]

Merci beaucoup pour vous être démené.
Notre professeur vient de nous dire quand faite il s'agissait d'une erreur du livre!!!!

Merci encore et bonne soirée.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Oui le truc que je voulais voir, c'était si effectivement, la suite était bien croissante et elle ne l'est pas, il suffit de regarder les premiers termes, cela oscille autour du nom bre d'or : 1,5 1,66 1,6 1,625 1,61...
Je me disais bien que cela ne marchait pas... Merci d'avoir signalé l'erreur

[Gilles]

bonsoir,
Par simple curiosité, auriez vous une idée quant-à la démonstration de cela?
Merci et bonne soirée.