Suites & Logarithme N.

[Marie]

Bonjour!
Alors voilà, j'ai un exercice assez immense à faire! Mais comme prévu, je bloque!! est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait ?

Pour la question 1 j'ai déjà des problèmes.. Je trouve la limite en -2 par valeur supérieure sans aucun souci: ça donne - l'infini. En revanche pour celle en + infini, je tombe sur uine forme indéterminée et pas moyen de m'en défaire:

\(\lim_{x \to +\infty}ln(2+x)-x\) = \(\lim_{x \to +\infty}ln(2+x)-e^{ln x}\) = \(\lim_{x \to +\infty}e^{ln(2+x)}-e^{ln x}\)
J'ai essayé de composer la première partie de l'expression mais ca ne m'avance à rien. (D'après ma Ti, le résultat de cette limite est - l'infini)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marie,

Pour la limite en +infini, puisque tu as une forme indéterminée, il faut transformer l'écriture de f(x) ... et ici il faut factoriser :
f(x) = ln(x+2) - x = ln(x+2) - x - 2 + 2 = ln(x+2) - (x + 2) + 2 = \((x+2)(\frac{ln(x+2)}{x+2}-1)+2\).
Avec cela tu dois pouvoir trouver la limite de f en +inf.

Bon courage,
SoSMath.

[Marion]

Bonjour, je suis dans la classe de Marie et j'ai suivi votre méthode pour la limite : je trouve la limite en +inf = -inf
Est-ce juste ? :)

[Marion]

Pour la limite en +oo je trouve -oo , est-ce juste ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je prends le sujet en route et je ne reviens pas sur la méthode. Sur le résultat uniquement, on doit effectivement trouver \(-\infty\).

[Marion]

Merci !
Pour la question suivante, je trouve que la dérivée est (-1-x)/(2+x) et ses variations : décroissante sur ]-2;1[ et croissante sur ]1;+oo[, c'est ça ?

[sos-math(21)]

Oui, cela m'a l'air correct.

[Marion]

Merci beaucoup.
Pour la partie B, on demande pour quelle valeur de Uo la suite est définie et j'avoue que là je bloque totalement. Auriez-vous un conseil s'il vous-plait ?

[sos-math(21)]

C'est une histoire de domaine de définition : quel est le domaine de définition de la fonction logarithme népérien ?
Ta suite est définie à l'aide d'un \(\ln\), il faut donc que le terme à l'intérieur de ce \(\ln\) soit ...., cela te donne une condition sur \(u_0\), pour que \(u_1\) soit calculable.

[Marie]

Merci beaucoup ! :)