Exercice exponentielle et ln

[Wolf]

Bonjour,
Voilà mon exercice qui est en 2 parties :
Partie A:
Soit g définie sur ]1;+ infini[ par g(x) = 2x-(x-1)ln(x-1)
1) Trouver la limite de g(x) en 1.
J'ai fait un changement de variable en posant X= (x-1) et j'ai trouvé 2.
2) Dériver g(x)
J'ai trouvé 1-ln(x-1)
3) Résoudre ln(x-1)<1 donc en déduire les variations de g.
J'ai trouvé x<e+1 donc g est croissante sur ]1;e+1[ et décroissante sur ]e+1;+ infini[
4) Montrer que g(x)=0 a dans l'intervalle [e+1;e^3+1] a une unique solution qui sera alpha.
C'est ici que je bloque. Dans mon cours, pour que k soit l'unique solution de f(x)=0 dans ]a;b[, il faut que la fonction soit continue, monotone et qu'il appartient à l'intervalle image de ]a;b[ alors mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer l'intervalle image donc l'image de e+1 et e^3+1. Pouvez vous m'aidez à calculer ces 2 valeurs ? Je n'ai pas mis la deuxième partie car je ne l'ai pas encore commencé.
Merci d'avance

[SoS-Math(2)]

Bonjour Wolf,
vos trois premières questions sont bien résolues.

g(e+1) = 2(e+1)-(e+1-1)ln(e+1-1)=2e+2-eln(e) = 2e+2-e car ln(e) =1
A vous de terminer.

Pour l'autre calcul, rappelez vous que ln(e^3)=3
Vous trouverez les deux valeurs en fonction de e puis en en calculant une valeur approchée avec la calculatrice, vous en trouverez une positive et une négative .
Bon courage

[Wolf]

Merci beaucoup ! Si j'ai besoin d'aide pour la suite je vous recontacte encore merci

[Wolf]

Tout qu'on fait j'ai besoin d'aide pour la 2ème partie.
La voici :
Soit f défini sur ]1;+ infini[ par f(x)= (ln(x^2-1))/x
1)a) Trouver la limite de f(x) en 1.
Ici j'ai trouvé que f(x) tend vers -infini
1)b) Trouver la limite de f(x) en +infini.
Ici cela donne forme indéterminé donc mon livre me conseille de factoriser le numérateur par x^2. C'est ce que j'ai fait ce qui donne à la fin 2lnx+ln(1-1/x^2) pour le numérateur mais malgré tout j'ai encore trouvé forme indéterminée avec +infini au numérateur et aussi au dénominateur alors est ce que j'ai fait un mauvais calcul ?
2)a) Calculer f'(x) et montrer que f'(x) est du même signe que g(x^2) sur ]1;+infini[
Ici pour la dérivée j'ai trouvé 2/x-1 mais je ne vois pas comment montrer qu'elle est du même du signe que g(x^2).
2)b) En déduire que f(x) est croissante sur ]1;racine alpha[ et décroissante sur ]racine alpha; + infini[
Ici je ne vois pas comment faire.
Pouvez vous m'aidez à me trouver des pistes ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la limite en 1, je suis d'accord avec ta réponse.
Pour la limite en \(+\infty\), on a en factorisant : \(f(x)=2\frac{\ln(x)}{x}+\frac{\ln(1-\frac{1}{x^2})}{x}\). Comme tu connais la limite du premier terme (croissance comparée : le logarithme est moins fort que la puissance...) Le second terme tend vers 0 de manière claire. Tu as donc une limite nulle...
Pour la dérivée, je trouve une autre expression \(f^{,}(x)=\frac{2x^2-(x^2-1)\ln(x^2-1)}{x^2(x^2-1)}=\frac{g(x^2)}{x^2(x^2-1)}\), comme le dénominateur est positif sur l'intervalle d'étude, on a bien le signe de la dérivée qui est donné par celui de \(g(x^2)\).

[Wolf]

D'accord merci beaucoup ! Et pour la dernière vous ne pourriez pas m'aider ? car je ne vois pas comment faire.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
c'est une histoire de "correspondance" : si \(x\in]1,\sqrt{\alpha}[\), alors \(x^2\in]1,\alpha[\) (fonction carré croissante sur cet intervalle), g étant positive sur cet intervalle on a donc :
pour \(x\in]1,\sqrt{\alpha}[\), \(g(x^2)>0\) donc la dérivée de f est aussi positive sur cet intervalle donc f est croissante sur \(]1,\sqrt{\alpha}[\).
Même chose pour l'autre intervalle en partant de \(x\in]\sqrt{\alpha},+\infty[\), c'est-à-dire \(x>\sqrt{\alpha}\)

[Wolf]

D'accord merci beaucoup