exo: complexe

[Nicolas]

Bonjour,
x'+y'i= ((-x^"+2xy-2xy²+y²x)/(x^3+2y²-y))+ ((i(-x²+x²y-2x²y+y²-y^3))/(x²+2y²-y+1))

donc
x'=(-x^3+2xy-y²x)/(x^3+2y²-y)
y'i= i(-x²-x²y-2x²y+y²-y^3)/(x²+2y²-y+1)

x'=(-x(x^2+y²-2y))/(x²+(1-y)²)

il me dise d'en déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je n'ai pas vérifié tes calculs, je prends le sujet en route et cela paraît compliqué.
En supposant que tu aies juste, trouver les points M tels que M' soit sur l'axe des imaginaires purs, cela signifie qu'on cherche M(x;y) tels que le point M' soit sur l'axe des ordonnées donc une partie réelle nulle donc x'=0, cela mène à une équation en x et y et doit donner une équation d'un ensemble connu : vu les calculs que tu as en prenant x'=0, en simplifiant par x on a \(x^2-2y+y^2=0\), ce qui donne \(x^2+(y-1)^2=1\) en mettant sous forme intéressante, ce qui serait l'équation d'un cercle de centre (0,1) et de rayon 1.

[Nicolas]

Bonjour,
j'ai refais le calcul c'est:
x' = (-x (x²+y²-2y)) / (x²+ (1-y)²)
y'i = ( i (-x+x²y-2x²y+y²-y^3))/(x²+y²-2y+1)

comment trouve t-on
x²+(y-1)²=1 ?
quand je simplifie x²+y²-2y=0 je trouve x²+(y-1)²=0

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme tu as \(y^2-2y\), tu reconnais le début d'un carré développé par une identité remarquable :
\(y^2-2y=y^2-2\times1\times\,y\), de la forme \(a^2-2\times\,a\times\,b\) avec a=y et b=1.
Donc on a le début de \((y-1)^2=y^2-2y+1\) donc il y aurait un 1 en trop donc on écrit \(y^2-2y=(y-1)^2-1\) d'où le -1 qui passe de l'autre côté en 1

[Nicolas]

ha ok,

On me demande de trouver une relation simple liant les longueurs OM,AM et OM'. en déduire l'ensemble F des points M du plan tels que M et M' soient situé sur un même cercle de centre O

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Nicolas,

Il faut utiliser la propriété sur les longueurs : \(AB=|z_B-z_A|\) et la relation \(z^,=\frac{z^2}{i-z}\).
Par contre es-tu sûr de ton ensemble F (des points M du plan tels que M et M' soient situé sur un même cercle de centre O) ?

SoSMath.

[Nicolas]

Bonjour,
oui je suis sur pour l'ensemble
Je ne vois pas trop comment faire
pour OM je fais

OM=zM-zO
O(0;0)
je ne comprends pas comment utiliser la relation avec z'=z²/(i-z)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nicolas,

Tout d'abord OM n'est pas égale à zM-zO mais OM = |zM-zO| (module de zM-zO).
Or zO = 0 donc OM = |zM| =|z| (car on a noté zM = z).
Il faut prendre le module dans ta relation : Si A = B alors |A| = |B| (la réciproque est fausse !).

Pour ton ensemble, il faut utiliser le fait que M et M' sont situés sur un même cercle de centre O, donc OM = OM' (= rayon du cercle).

SoSMath.

[Nicolas]

Bonjour,
Pour AM je fais

AM=|zM-zA|
zA=i

AM=|zM-i|

OM'=|z'|=z²/(i-z)= OM²/ -(z-i)=OM²/- AM

comme OM=OM'

OM=OM²/-AM
OM.(-AM)=OM²
OM.(-AM)-OM²)=0
OM(-AM-OM)=0

OM=0 ou -AM-OM=0

-AM-OM=0
-AM=OM

M est situé sur l'origine O
et -AM et OM sont équidistant

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je reprends le sujet en route et je ne comprends pas trop le message que tu viens de poster : j'ai l'impression que tu mélanges certaines choses.
Pour la relation simple, il faut partir de la relation donnant z' affixe de M'.
On a \(OM^{,}=|z^{,}|=\left|\frac{z^2}{i-z}\right|=\frac{|z|^2}{|i-z|}=\frac{OM^{2}}{AM}\).
Donc \(OM^2=OM^{,}\times\,AM\)
Dire que M et M' sont situés sur un même cercle de centre O, signifie que \(OM=OM^{,}\) donc on peut simplifier par OM à gauche et par OM' à droite.
On a donc
\(OM=AM\), c'est donc l'ensemble des points équidistants de A et de O, donc cela sent la médiatrice du segment [OA].
Ensuite, il faudrait faire la réciproque, si on part d'un point M sur la médiatrice de [OA), est-ce que les points M et M' sont sur un même cercle de centre O. A toi de faire ce travail.

[Nicolas]

Ok, merci pour votre aide

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation et à bientôt sur SOS Math