PGCD, spé maths

[Mélanie, terminale S]

Le nombre n est un entier naturel non nul. on pose a=4n+3, b=5n+2 et on note d le PGCD de a et b.
1. Donner la valeur de d dans les trois cas suivants n=1 n=11 n=15
2. Calculer 5a-4b et en déduire les valeurs possibles de d.
3. a. Déterminer les entiers naturels n et k tels que: 4n+3=7k
b. Déterminer les entiers naturels n est k tels que: 5n+2=7k'
4. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7. Déduire des question précédentes la valeur de r pour laquelle d vaut 7. Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1?

Merci de m'aider, je n'arrive à rien du tout à part la première question et je ne comprends même pas le sens de l'exercice! Aidez-moi!

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

2)d est le pgcd(a,b) donc d divise a et d divise b, donc par théorème( voir cours) d divise 5a-4b=7
donc d=1 ou d=7

Le reste de l'exercice permet de déterminer d.

sosmaths

[Mélanie, terminale S]

D'accord, j'ai compris la 2) mais comment trouve-t-on la 3)? J'ai essayé d'utiliser le théorème de Gauss mais je tourne en rond... Quel est le but de cette question?

Merci encore.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mélanie,

Le 3 a) Te permet de trouver les valeurs de \(a\) qui sont multiples de 7 puisque \(4n+3=a\)
Tu dois transformer l'égalité en \(n=\frac{7k-3}{4}\), comme \(n\) doit être entier tu commences à chercher les valeurs de \(k\) pour que le quotient soit entier, il y en a une infinité.
Tu testes 0, ne convient pas.
Tu testes 1, 1 convient. Tu as touts les autres solutions de 4 en 4. Toutes les valeurs de \(k\) qui conviennent sont : \(k=1+4\times{u}\) où \(u\) est un entier relatif. (Tu as au plus 4 tests à effectuer car le diviseur est 4, donc pas d'inquiétude quant au nombres de tests pour trouver une solution)
Fais de même pour le b.
Tu en déduis les valeurs de \(a\) et de \(b\) qui sont multiples de 7 toutes les deux. Dans ce cas \(d= 7\).
Pour les autres \(d=1\).

Bonne continuation