Encadrement

[kenza]

Bonjour,
La fonction f est définie sur R par f(x)= 1/x²+3.
1)Montrez que pour tout réel x supérieur ou égal à 2 :
.1/2x² <ou= 1/x²+3 < ou = 1/x².
2)Déduisez en un encadrement de [2 ;3] f(x) dx.

Pour le 1, est ce que je peux le prouver en remplaçant le x par 2 ?

Et pour le 2 pouvez vous me donner un coup de main pour le début svp ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Si tu remplaces x par 2 , tu constates que les inégalités sont vraies pour x=2, mais tu ne prouves rien pour x>2.
Il faut faire une démonstration générale

par exemple je te propose de calculer la différence : \(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x^2+3^}\)

en réduisant au même dénominateur, puis en étudiant le signe de cette différence pour x>=2.

Il y a d'autres méthodes mais celle là est assez générale : Pour comparer 2 nombres on étudie le signe de leur différence.

sosmaths

[kenza]

la différence est 1/x²+3?

[SoS-Math(4)]

pas du tout, donne moi les détails du calcul. N'oublie pas de réduire au même dénominateur.

sosmaths

[kenza]

=x²+3-2x²/x²(x²+3)
=-x²+3/2x^3+6
?

[SoS-Math(4)]

Il manque un 2 au dénominateur, puis il ne faut pas développer le dénominateur .

x²+3-2x²/x²(x²+3)

On obtient donc : \(\frac{3-x^2^}{(2x^2)(x^2+3)}\)

tu sais que x >2, que peux tu en déduire pour le signe du numérateur ?

et le signe du dénominateur, que peux tu en dire ?

Et donc quel est le signe de la fraction ?

sosmaths

[kenza]

Je suppose que le dénominateur et el nominateur sont positif, et que parconséquent la fraction est positive?

[SoS-Math(4)]

oui, ta supposition est juste mais il faut rédiger une démonstration.

sosmaths

[kenza]

ah d'accord, et je peux donc prouver cette démonstration en remplacant le x par un nombre supérieur ou égale a 2?

[sos-math(21)]

Je renvoie le message, il y a un caractère qui n'est pas passé :
si \(x>2\), alors \(3-x^2<0\).
pour le prouver tu peux partir de x>2 donc en élevant au carré qui est une fonction croissante, on a
\(x^2>2^2\) donc \(x^2>4\) donc
\({-}x^2<-4\) donc
\(3-x^2<-1\) donc ton numérateur est négatif.
Comme le dénominateur est négatif, ta fraction est négative.

[kenza]

ah d'accord merci pour votre aide!
et pour la question 2, il faut que je remplace le x par 2 puis par 3, c'est ça?

[sos-math(21)]

Je ne comprends pas la deuxième question : c'est une intégrale ? Si c'est le cas tu utilises la croissance (ou positivité) de l'intégrale :
si tu as prouvé que :
\(\frac{1}{2x^2}\leq f(x)\leq\frac{1}{x^2}\) sur l'intervalle [2;3] alors par passage à l'intégrale entre ces deux bornes :
\(\int_{2}^{3}\frac{1}{2x^2}dx\leq \int_{2}^{3}f(x)dx\leq\int_{2}^{3}\frac{1}{x^2}dx\)
Il te reste à calculer les deux intégrales de chaque côté : il suffit de trouver les primitives.

[kenza]

Donc l'encadrement est -1/2x <ou= f(x) <= -1/x, c'est ca?

[sos-math(21)]

Attention, ce sont des intégrales à calculer donc à la fin, tu doit avoir deux nombres qui encadrent l'intégrale de f sur [2;3].
Par exemple : \(\int_{2}^{3}\frac{1}{2x^2}dx=[-\frac{1}{2x}]_{2}^{3}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{-2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\)
Dis-moi, tu comprends ce que je fais ? je suis dans le vrai ? c'est bien une histoire d'intégrales dans ton énoncé d'exercice ?

[kenza]

oui c'est une histoire d'intégrale.
Et j'ai fais pareil pour le 1/xdx = -1/3 +1/2 =-3/6 +3/6 =0
Donc l'encadrement est 0<ou= f(x) <ou= 1/12
c'est ca?