Convergence

[Marion]

Bonjour on a Un=n!/((x+1)...(x+n)) et Vn=u1+....Un
On suppose x>1 et je dois montrer que (x-1)Vn=1-(n+1)Un Et déduire que Vn converge mais je suis bloquée pouvez-vous me rendre un coup de main svp ?

[SoS-Math(11)]

Re bonjour,

l'inspiration m'étant venue je te propose d'utiliser un raisonnement par récurrence.
Soit $P(k)$ la propriété : $(x-1)V_{k}=1-(k+1)U_k$.
Vérifie que $P(1)$ est vraie, utilise l'astuce de calcul $(x-1)=(x+1)-2$.
Pour démontrer l'hérédité : suppose $P(n)$ vraie : $(x-1)V_{n}=1-(n+1)U_n$
Calcule alors $(x-1)V_{n+1}$ en utilisant le fait que $V_{n+1}=V_n+\frac{(n+1)!}{(x+1)...(x+n+1)}$.
Les calculs sont un peu longs mais on arrive au résultat à savoir que $(x-1)V_{n+1}=1-(n+1+1)U_{n+1}$.

Ensuite vérifie que $U_n$ est borné et déduis-en la convergence de $V_n$ qui est croissante.

Bon courage et bonnes fêtes de fin d'année

[Marion]

Merci beaucoup de votre inspiration Sos-Maths(11)

En cherchant j'ai donc (x-1)Vn+1=(x-1)Vn+(n+1)!/((x+1)...(x+n+1)) x (x-1)

On remplace (x-1)Vn par 1-(n+1)Un mais la partie de droite je vois pas comment la remplacé j'ai mis Un+1x(x-1) mais je pense sa faux ... pouvez-vous m'aiguiller car la je suis paumée ...

[SoS-Math(11)]

C'est un début :
il faut développer $(x-1)U_{n+1}$, cela donne $(x-1)U_{n+1}=(x+1)U{n+1}-2U_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}$.
Tu as donc $(x-1)V_{n+1}=1-(n+1)U_n+\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}=1-\frac{(n+1)!}{(x+1)...(x+n)}+\frac{(n+1)!}{(x+2)...(x+n+1)}-2U_{n+1}$

Réduis au même dénominateur et ajoute les deux fractions, il doit te rester juste la bonne réponse.

Pour continuer pense que si $x>1$ alors $(x+1)(x+2)...(x+n)>2\times{3}\times{4}...\times{n+1}=(n+1)!$, ce qui te sert à prouver que $(n+1)U_n$ est borné.

Bon courage et bonnes fêtes de fin d'année

[Marion]

Se que j'ai marqué avant est juste ?
Car je ne vois pas ou passe le 1-(n+1)Un sinon ...

[Marion]

Ah si pardon oublier se que j'ai dis !

[Marion]

J'ai essayer de faire comme vous avez dis pour montrer qu'elle est bornée mais je ne vois pas comment arriver au résultat ...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marion,

Avec l'indication donnée ((x+1)...(x+n) < (n+1)!) tu peux en déduire que Un < ... (à toi de trouver !)
ensuite Il est assez simple de prouver que 0 < Un ....
Tu as alors ton encadrement de Un. Ensuite tu peux en déduire un encadrement de Vn, sachant que (x-1)Vn=1-(n+1)Un.

Bon courage,
SoSmath.

[Marion]

Bonjour et bonne année !

Eh bien j'ai réfléchie je pense que Un<1 et >0 car x>0 et que n appartient a N*

Vn<(1-(n+1)Un)/(x-1)
Et Vn>0 ensuite que dois-je faire ?

[Marion]

Bonjour et bonne année !

Eh bien j'ai réfléchie je pense que Un<1 et >0 car x>0 et que n appartient a N*

Vn<(1-(n+1)Un)/(x-1)
Et Vn>0 ensuite que dois-je faire ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

on a pour x>1 : (x+1)(x+2).....(x+n)>(n+1)! donc en prenant l'inverse ( fct inverse décroissante sur IR+) on obtient : 1/(x+1)(x+2)...(x+n) < 1/(n+1)!


Pour obtenir Un on multiplie les 2 cotés par n!, et on obtient : Un<n!/(n+1)! donc Un<1/(n+1)

On a bien sur Un>0 donc l'encadrement : pour tout entier n , 0< Un <1/(n+1)

Grace à cet encadrement , essaie d'encadrer Vn. Tu dois arriver à conclure que 0< Vn<1

Ensuite tu montreras que la suite V est croissante, et tu concluras.

sosmaths

[Marion]

Merci,j'arrive a montrer que Vn croissante et >0 mais pas >1 ...
Pouvez vous me renseignez ...

[SoS-Math(4)]

c'est normal, Vn<1 et non pas Vn>1.

Utilise cette formule pour le faire.

(x-1)Vn=1-(n+1)Un

je commence : Un< 1/(n+1)

je multiplie les 2 côtés par n+1, on obtient :
(n+1)Un <1

je multiplie les 2 cotés par -1, on obtient :
..........à toi de finir

sosmaths

[Marion]

Ok je trouve -(n+1)Un>-1 or si je rajoute 1 pour avoir (x-1)Vn je trouve 1-(n+1)Un>0 ...

[SoS-Math(4)]

oui , c'est ça, donc (x-1)Vn>0

Mais on sait aussi que : (n+1)Un >0 donc -(n+1)Un<0 donc 1-(n+1)Un<1 donc (x-1)Vn<1

Finalement 0<(x-1)Vn<1 donc en divisant par x-1 qui est positif, on obtient :0<Vn<1/(x-1)

Donc Vn est majorée par 1/x-1

Donc Vn converge puisque Vn est croissante.


sosmaths