Bonjour, j'ai un dm a faire mais j'aurais besoin de votre aide:
F est la fonction définie sur[0;+infinie[ par: f(x)=racine de x
1. Donnez l'approximation affine locale de f(1+h).
2. Démontrez que pour tout h>ou égale a 0:
f(1+h)-(1+1/2h)=-h²/(4[racine1+h +1+h/2]
3. Déduisez-en que pour tout h>ou égale a 0
valeur absolu[f(1+h)-(1+1/2h)] <ou égale h/8
4. Donnez alors des valeurs approchées des nombres suivants et un majorant de l'erreur commise:
a.racine de 1.002 b.racine de 4.004
c.racine de 9+x, pour x tel que 0<ou égale a x< ou égale a 10-²
Je vous remercie.
approximations affines
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: approximations affines
Bonjour Lola,
J'ai un peu de mal a lire ton message : quand tu écris 1/2h est-ce\(\frac{1}{2}h\)ou\(\frac{1}{2h}\) ?
Ensuite quand tu écris -h²/(4[racine1+h +1+h/2] est-ce \(\frac{-h^2}{sqrt{1+h}+1+\frac{h}{2}\) ou \(\frac{-h^2}{sqrt{1+h+1+\frac{h}{2}}\) ?
Pour t'aider il me faut aussi le début de ton travail, que sais-tu de la forme générale d'une approximation affine ?
Connais-tu la fonction dérivée de la fonction "racine carré" ?
A bientôt sur le forum.
J'ai un peu de mal a lire ton message : quand tu écris 1/2h est-ce\(\frac{1}{2}h\)ou\(\frac{1}{2h}\) ?
Ensuite quand tu écris -h²/(4[racine1+h +1+h/2] est-ce \(\frac{-h^2}{sqrt{1+h}+1+\frac{h}{2}\) ou \(\frac{-h^2}{sqrt{1+h+1+\frac{h}{2}}\) ?
Pour t'aider il me faut aussi le début de ton travail, que sais-tu de la forme générale d'une approximation affine ?
Connais-tu la fonction dérivée de la fonction "racine carré" ?
A bientôt sur le forum.
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Lola
Re: approximations affines
Merci de me repondre.
C'est les deux premières propositions que vous avez faites. (désolée je debute sur les forums.)
Je suis bloquée dès la première question car je n'arrive pas a calculer f'(a) pour pouvoir donner l'approximation affine locale. Car justement je ne connais pas lafonction dérivée de la fonction "racine carré". Je n'ai qu'un exercice corrigé sur ce sujet et il ne m'aide pas vraiment.
Sur la forme générale de l'AAL, je sais juste les formules.
En espérant vous éclairer.
C'est les deux premières propositions que vous avez faites. (désolée je debute sur les forums.)
Je suis bloquée dès la première question car je n'arrive pas a calculer f'(a) pour pouvoir donner l'approximation affine locale. Car justement je ne connais pas lafonction dérivée de la fonction "racine carré". Je n'ai qu'un exercice corrigé sur ce sujet et il ne m'aide pas vraiment.
Sur la forme générale de l'AAL, je sais juste les formules.
En espérant vous éclairer.
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SoS-Math(11)
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- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: approximations affines
Bonsoir,
Tu as en général :
La formule de l'approximation affine en un point a pour h proche de 0 : \(f(a+h)\#f(x)+h\times{f^,(a)}\) le symbole # remplace "environ".
Ensuite je te donne ;\(\sqrt{x}^,=\frac{1}{2sqrt{x}}\).
Avec ces deux indications tu peux commencer, bonne continuation.
Tu as en général :
La formule de l'approximation affine en un point a pour h proche de 0 : \(f(a+h)\#f(x)+h\times{f^,(a)}\) le symbole # remplace "environ".
Ensuite je te donne ;\(\sqrt{x}^,=\frac{1}{2sqrt{x}}\).
Avec ces deux indications tu peux commencer, bonne continuation.
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Lola
Re: approximations affines
Merci de votre aide, mais comment je trouve f '(a)?
Dois-je faire f'(a+h)-f(a)/h? Car c'est justement la que je suis bloquée.
Dois-je faire f'(a+h)-f(a)/h? Car c'est justement la que je suis bloquée.
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: approximations affines
Bonjour Lola,
\(f^,(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}\) tout simplement, c'est pour cela qu'il faut connaître la formule de la dérivée de la fonction racine carrée.
Dans ton problème \(a=1\).
Bonne continuation
\(f^,(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}\) tout simplement, c'est pour cela qu'il faut connaître la formule de la dérivée de la fonction racine carrée.
Dans ton problème \(a=1\).
Bonne continuation
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Lola
Re: approximations affines
Merci beaucoup, votre aide m'a aidé.
Mais je suis de nouveau bloqué a la question trois.. Je ne sais pas du tout par quoi commencer.
Merci a bientot.
Mais je suis de nouveau bloqué a la question trois.. Je ne sais pas du tout par quoi commencer.
Merci a bientot.
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: approximations affines
Bonjour,
il faut que tu "majores" ton deuxième membre, c'est à dire, il faut que tu prouves que
\(\left|\frac{-h^2}{\sqrt{1+h}+1+\frac{h}{2}}\right|\leq\frac{h}{8}\), ce qui revient à prouver que \(\sqrt{1+h}+1+\frac{h}{2}\geq2h\).
Pour obtenir cette inégalité, essaie d'étudier la fonction "différence " \(k(x)=\sqrt{1+x}+1+\frac{x}{2}-2x\) et de prouver que celle-ci est positive.
il faut que tu "majores" ton deuxième membre, c'est à dire, il faut que tu prouves que
\(\left|\frac{-h^2}{\sqrt{1+h}+1+\frac{h}{2}}\right|\leq\frac{h}{8}\), ce qui revient à prouver que \(\sqrt{1+h}+1+\frac{h}{2}\geq2h\).
Pour obtenir cette inégalité, essaie d'étudier la fonction "différence " \(k(x)=\sqrt{1+x}+1+\frac{x}{2}-2x\) et de prouver que celle-ci est positive.