Nombres complexes

[Elise]

Bonjour,

j'aurais besoin de votre aide pour quelques questions concernant ces 2 exercices faisant partie de mon DM de maths s'il vous plait.

En effet, je crois avoir réussi l'exercice 1 mis à part la deuxième partie de la question c.

Voici les réponses que j'ai trouvé à la question 3)b) car elles seront certainement utiles:

(Vecteur PR a pour affixe Z) Z = 4-2√3+2i = 2α +2i

(Vecteur PS a pour affixe Z') Z' = 2+(4-2√3)i = 2+2αi

J'ai ensuite réussi à prouver que les deux modules étaient égaux en disant qu'ils étaient tous les deux égaux à 2√(α²+1) (méthode de calcul d'un module)

Mais je n'ai pas réussi a prouver ce que j'ai entouré (que le rapport des affixes était égal à "e^iπ/3")...
J'ai pensé à utiliser la formule z/z'=r/r'.e^i(θ-θ'), mais le problème est que je n'arrive pas à calculer les arguments... Je ne vois vraiment pas comment faire.

Par contre pour la question d), j'ai pu dire qu'il s'agissait d'un triangle équilatéral car il est isocèle en P et car il a un angle de 60°(π/3, ce que je n'arrive pas à prouver).



Pour l'exercice 2, je suis bloquée à la question 2)b) car je ne vois pas du tout comment m'y prendre. J'ai essayé d'écrire que |z1|=|z2-z1| en utilisant les valeurs de z1 et z2 de la question 1)b) mais je n'ai pas réussi a retrouver l'égalité demandée...
Je n'ai pas compris la suite de l'exercice mais si j'arrivais à résoudre cette question peut-être que cela m'aiderait.




Voilà, j'espère avoir été claire et que vous pourrez m'aider.

Merci beaucoup!

[SoS-Math(2)]

Bonjour Elise,
Vous devez calculer le quotient Z/Z' = $\frac{2\alpha+2i}{2+2\alpha i}=\frac{\alpha+i}{1+\alpha i}=\frac{(\alpha+i)(1-\alpha i)}{(1+\alpha i)(1-\alpha i)}$
A vous de continuer ...
Vous n'aurez plus qu'à calculer le module et l'argument du nombre obtenu !

Pour le n°2
OM1=M1M2 équivaut à |Z1|=|Z2-Z1|
Calculons d'abord le module de Z1
$|Z_1|=|\frac{1+i}{2}(z+1)}=|\frac{1+i}{2}||(z+1)|= ....$
A vous de continuer

Bon courage

[Elise]

Bonsoir!

tout d'abord merci car grâce à votre aide j'ai pu finir mon premier exercice.

Par contre, je suis toujours bloqué sur l'exercice 2 à partir de la question 2)b).

En effet, en appliquant votre méthode j'ai pu trouver ces résultats en simplifiant au maximum :

|z1|=|(z+1)/2 + (z+1)/2*i|
|z2-z1|=|-zi|

Par contre, après, je ne comprends pas comment on peut trouver que |(z+1)/2 + (z+1)/2*i|=|-zi|
soit équivalent à la proposition de l'énoncé, soit |z+1|²=2|z|²...

Je ne comprends pas non plus la question 2)c)...
En effet, j'ai essayé de prouver que |z+1|²=2|z|² équivaut à |z-1|²=2 mais je n'y suis pas parvenue non plus...
S'il n'y avait pas eu le carré j'aurais dit que cela correspondait à la caractérisation de l'ensemble des points d'un cercle mais là je ne vois pas à quoi pourrait correspondre l'ensemble des points T (Gamma majuscule).


J'espère que vous pourrez me venir en aide car la fin de cet exercice reste très flou pour moi...


Merci d'avance

Cordialement.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Elise, vous n'avez pas bien suivi mes conseils.
Regardez le début des calculs :

$|Z_1|=|\frac{1+i}{2}(z+1)}=|\frac{1+i}{2}||(z+1)|= ....$

Calculez $|\frac{1+i}{2}|$et ne touchez pas à |z+1|
Vous arriverez à $|Z_1|=......|(z+1)|$
A vos crayons

[Elise]

Bonjour,

J'obtiens alors |z1|= √(2)/2 |z+1|
et |z2|=√(2)/2 |z+i|-√(2)/2 |z+1|



Est-ce correct?
Car je ne comprends toujours pas comment obtenir le résultat attendu....


Merci d'avance si vous pouvez encore m'aider!

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord avec les modules $\sqrt{2}{2}$, dans les deux cas.
Ensuite $OM_1=OM_2$ se traduit par $|z_1|=|z_2|$ et comme la forme précédente permet de faire disparaître les modules égaux, on obtient bien que c'est équivalent à $|z+1|=|z+i|$, que l'on peut élever au carré : $|z+1|^2=|z+i|^2$ ce qui se traduit en notant z=x+iy par ...