Suites

[Pierre]

Bonjour à tous !
Je dois calculer ∫x^kdx pour tout quand dans N l'intégrale est de 0 a 1 or je trouve = a 1/(k+1) et sa me gène vu que je suis en fonction de k ...
Pouvez-vous me sortir de la svp ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Pierre,

C'est normal de trouver une formule dans laquelle il y a k puisque l'intégrale doit être calculée pour tout k donc on doit bien y avoir une formule où k intervient.
Ici si k = 1 l'intégrale vaut 1/2.
Le problème va se poser pour k = -1, pour cette valeur l'intégrale n'est plus définie.

Bonne continuation

[Pierre]

Bonjour !
Sur -1 bien évidement elle n'est plus définie ...
Mais ne dois-je pas calculer d'autre valeur ?
De cette question je dois déduire : limn->+L'inf∫(x^n+1)/(x+1)dx sans calculer l'intégrale ... et c'est assez flou ...

[SoS-Math(11)]

Bonjour Pierre,

Appelle $I_{n+1}$ l'intégrale $\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{x+1}dx$, tu as donc $I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{x+1}dx$.
Remarque que :$\frac{x^{n+1}}{x+1}=x^n(\frac{x}{x+1})=x^n(1-\frac{1}{x+1})$.
Déduis-en une relation entre$I_{n+1}$ et $I_n$ en appliquant le résultat de la première question.
Applique cette même relation pour passer de $I_n$ à $I_{n-1}$ et ainsi de suite jusqu'à $I_0$.
Tu dois obtenir $I_{n+1}=Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1)-I_0$ ou $I_{n+1}=Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....-1)+I_0$ suivant la parité de n.
Calcule alors I_0 puis cherche la limite de l'expression $Somme(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1)$ et conclus

Bon courage, les calculs ne sont pas évidents, tu peux utiliser un logiciel de calcul formel gratuit qui s'appelle Xcas et qui t'aidera dans tes calculs.

[Pierre]

Je trouve In+1 = 1/(1+n) - In êtes-vous d'accord ?
Je n'arrive pas a développer jusqu'a I0 ...

[SoS-Math(11)]

Tout à fait,
Donc $I_{n+1}=\frac{1}{n+1}-I_n$, au rang inférieur cela va donner $I_{n}=\frac{1}{n}-I_{n-1}$et on a alors
$I_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+I_{n-1}$.
Continue de même pour arriver à $I_0$.

Bonne continuation

[Pierre]

En étant arrivé a Io je calcule celui-ci je fais l'integrale de 0 a 1 de x/(x+1) je trouve la valeur ...
En calculant la limite de In+1 = 1 ou -1 suivant la parité
J'additonne avec la valeur trouvé avec l'intégrale et je trouve la valeur ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Il faut bien calculer $I_0$ la primitive de $\frac{1}{x+1}$ est $ln(x+1)$.
Ensuite Il y a une somme :$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+....+1$ dont il faut trouver la limite.
Puis retrancher la imite de la somme et $I_0$ ou l'opposé ce qui donne le même résultat.

Bonne continuation

[Pierre]

La valeur de l'intégrale est Ln(2) et la limite de la somme est 0 donc la valeur limite totale est ln2 ???

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

OK pour $I_0$.
Pour la limite de la somme ce n'est pas 0 ; c'est ln(2) ; mais pour l'explication de la limite de cette somme cela ne me semble pas être du programme de terminale. Déduis-en la limite globale pour les deux cas.

Bonne fin d'exercice.

[Pierre]

Vous etes sur que la primitive de Io est 1/(x+1) car pour Io on a le quotient dans l'intégrale est x^1/(x+1)

[Pierre]

Pouvez-vous m'expliquer comment on trouve Ln(2) pour la somme s'il vous plais car je ne comprends tout ...

[SoS-Math(11)]

Re bonjour

Pour $I_0$ j'ai l'intégrale de 1/(x+1) pas de x/(x+1).
Pour la somme c'est un développement limité d'ordre n qui donne une somme de Taylor-Young ou de Mac-Laurin, j'ai regardé mais ce n'est pas du programme de terminale et le n'ai pas d'autre explications.

Bonne fin d'exercice