Montrer une inégalité

[Jack]

Bonjour,
je bloque sur un exercice, je n'arrive pas à trouver "l'astuce".
Le sujet est en pièce jointe.

1) *J'ai d'abord essayé de partir de x>0 pour me ramener à ln(x+1)-lnx mais cela n'a pas aboutit.

*Après j'ai essayé de faire une étude de fonction de f(x)= ln(x+1)-lnx.
Voici la dérivée: f'(x)= (1/(x+1))-(1/x)
f'(x)=-1/((x+1)x)

Donc sur [0;+ Inf[, f est strictement décroissante.
f(x) tend vers +Inf quand x tend vers 0
et f(x) tend vers 0 quand x tend vers + Inf (car f(x) = ln(1 +1/x)
Donc f(x)>0 mais ceci ne m'avance à rien.

*Après, je "sens" qu'il y a quelques choses comme le taux d'accroissement
car f(x)= (ln(1+x)-lnx)/(1+x-x)
Et donc la limite en un réel donnée, correspondrait à la dérivée de ce point.
Mais je n'arrive pas à me rattacher à l'énoncé.

Merci de votre aide.

[sos-math(22)]

Bonsoir Jack,
Je te conseille d'étudier les variations des fonctions définies sur ]0 ; +oo[ par :
\(f(x)=ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x+1}\) et \(g(x)=ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x}\) ;
et de déduire leurs signes des tableaux de variations.
Bon courage.

[Jack]

Bonjour Sos-math(22),
je suis vos conseils mais je bloque dans l'étude de g(x).
Comment peut ton lever la forme indéterminée de g(x) quand x tend vers 0 ?
J'ai essayé à me ramener à une limite remarque (ln(x+1)/x) avec x= 1/X mais l'indétermination persiste.
Merci

[sos-math(22)]

Bonjour,

Il suffit d'écrire :

\(g(x)=ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x}=ln(\frac{x+1}{x})-\frac{1}{x}=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\).

Lorsque tend tend vers 0 par valeurs positives, \(\frac{1}{x}\) tend vers +oo.

On est donc ramené à l'étude de la limite de \(ln(1+X)-X\) lorsque \(X\) tend vers +oo.

Or, \(ln(1+X)-X=X(\frac{ln(1+X)}{X}-1)=X(\frac{ln(X(1+\frac{1}{X}))}{X}-1)=X(\frac{lnX}{X}+\frac{ln(1+\frac{1}{X})}{X}-1)\)

Peut-être y a-t-il une méthode plus courte, mais je ne la vois pour l'instant.

Enfin, cette étude de limite n'est pas forcement indispensable : tu cherches simplement les variations de g afin d'en déduire le signe.

Je te laisse terminer, bon courage.

[Jack]

Bonjour,
merci de votre réponse Sos-math(22).
Cependant, il y a quelque chose qui me dérange, c'est qu'avec cette méthode, on n'exploite pas la forme particulière : (f(x)-f(a))/(x-a).
Alors une idée m'est venu, peut on utiliser le théorème des acrroissement finis ?
Je ne l'ai encore jamais appliqué mais je sais que pour une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, il existe un réel c appartenant [a,b] tel que : \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)=f'(c)
Et après ils suffiraient de faire un encadrement de f'(c). Ici b=x+1 et a=x mais comment choisir c ?
Qu'en pensez vous ? (je préférerais utiliser cette méthode comme cela, j'utilise ce théorème).

Merci.

[sos-math(22)]

Rebonjour,

Oui, c'est une excellente idée. Mais normalement, ce théorème n'est plus au programme de TS...

Cependant, si vous l'avez vu en cours et que votre professeur vous autorise à l'utiliser, ce théorème est parfaitement adapté à cet exercice !

Reprenons la question 1)

On considère la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par f(x)=ln(x).

Pour x dans cet intervalle, on pose b=x+1 et a=x.

D'après le théorème des accroissement finis (préciser les hypothèses nécessaires ici), il existe un réel c appartenant à ]a;b[ tel que :

\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)=f ' (c) d'où \(ln(x+1)-ln(x)=\frac{1}{c}\)

Or, a<c<b donc \(\frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\)

D'où : \(\frac{1}{x+1}<ln(x+1)-ln(x)<\frac{1}{x}\)

Je te laisse rédiger la seconde question en utilisant ce même théorème.

Bon courage.

[Jack]

Bonjour Sos-math (22),
Merci de votre aide et de vos indications pour l'utilisation du théorème.
J'ai réussi la question 2)
mais je bloque à la question 3 qui est:

3) Montrer que pour tout n>2, on a \(\fra{1}{(n+1)ln(n+1)}<ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))<\fra{1}{n ln (n)}\)
Même principe, je pose b= 1+n et a=n
Considèrons la fonction f(x)= ln(x) définie sur ]0;+oo[.

Continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, donc d'après le théorème des accroissements finis, il exsite un réel c appartenant à ]a;b[ tel que \(\fra{ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))}{ln(1+n)-ln(n)}\)=ln'(c)=1/c

Même proécédé que dans la question 1),
on a : a<c<b
d'où 1/b<1/c<1/a

donc on aurait:\(\fra{1}{ln(n+1)}<\fra{ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))}{ln(1+n)-ln(n)}<\fra{1}{ln(n)}\)
Pour me ramener à la forme demandée, je multiplie par le dénominateur:
\(1-\fra{ln}{ln(n+1)}<ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))<-1+\fra{ln(1+n)}{ln(n)}\)
ou encore:
\(\fra{(n+1)ln(1/n +1)}{(n+1)ln(n+1)}<ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))<\fra{ln(1+n)}{ln(n)}\) (j'ai simplifié la différence des ln
et j'ai fait apparaître le même dénominateur pour pouvoir comparer avec l'énoncé.
Cependant, je n'abouti pas.
J'essaie de montrer que \(\fra{(n+1)ln(1/n +1)}{(n+1)ln(n+1)}>\fra{1}{(n+1)ln(n+1)}\)

Donc que : (n+1)ln (1/n +1)>1
Il y a t-il une meilleur méthode qu'un encadrement ?


Merci !

[sos-math(22)]

Bonjour Jack,
Oui, il y a une autre méthode qui consiste à considérer la fonction f définie sur I=]1;+oo[ par f(x)=ln(ln(x)).
f est définie sur I, car pour tout x appartenant à I on a ln(x)>0.
f est de plus dérivable sur I comme composée de deux fonctions dérivables.
Pour tout x de I, on a : f ' (x)=\(\frac{1}{xln(x)}\).
Je te laisse terminer en utilisant la même méthode que précédemment.
Renvoie moi la fin de la solution afin que je puisse vérifier.
Bon courage.

[Jack]

Bonsoir,
J'ai réussi ! Merci !
Un grand merci à vous et bonnes fêtes !

[sos-math(22)]

Bonjour,
Merci, à toi aussi.
Et bonne continuation.